方差分析与回归分析讲义.ppt

由样本相关系数的定义可以得到 r与F统计量之间的关系 这表明， ?r?是F的严格单调增函数，故可以从F分布的1?? 分位数 F1-?(1, n?2) 得到 ?r? 的1?? 分位数为 譬如，对? =0.01，n=12， F0.99(1,10)=10.04 ，于是 。 为实际使用方便，人们已对r1- ?(n-2)编制了专门的表，见附表9。 以例8.4.2中数据为例，可以计算得到 若取? =0.01，查附表9知 r0.99(10)=0.708, 由于0.97280.708，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。 在一元线性回归场合，三种检验方法是等价的：在相同的显著性水平下，要么都拒绝原假设，要么都接受原假设，不会产生矛盾。 F 检验可以很容易推广到多元回归分析场合，而其他二个则否，所以，F检验是最常用的关于回归方程显著性检验的检验方法。 8.4.5 估计与预测 当回归方程经过检验是显著的后，可用来做估计和预测。这是二个不同的问题： （1）当x=x0时，寻求均值E(y0)=?0+ ?1 x0的点估计与区间 估计（注意这里E(y0)是常量）是估计问题； （2）当x=x0时，y0的观察值在什么范围内？由于y0是随机 变量，为此只能求一个区间，使y0落在这一区间的概 率为1-? ，即要求?，使 称区间 为y0的概率为1- ?的预测区间， 这是预测问题。 一、 E(y0)的估计 在x=x0时，其对应的因变量y0是一个随机变量，有一个分布，我们经常需要对该分布的均值给出估计。由于E(y0)=?0+ ?1 x0，一个直观的估计应为 我们习惯上将上述估计记为 （注意这里 表示的是E(y0)的估计，而不表示y0的估计，因为y0是随机变量，它是没有估计的）。由于 分别是?0, ?1的无偏估计，因此， 也是E(y0)的无偏估计。 为得到E(y0)的区间估计，我们需要知道 的分布。由定理8.4.1， 又由定理8.4.3知， Se /? 2 ~? 2(n-2)，且与 相互独立，故 于是E(y0)的1?? 的置信区间（CI）是 （8.4.20） 其中 （8.4.21） 二、 y0的预测区间 实用中往往更关心x=x0时对应的因变量y0的取值范围。 y0的最可能取值为 ，于是，我们可以使用以 为中心的一个区间 作为y0的取值范围。经推导，? 的表达式为 (8.4.23） 上述预测区间（PI）与E(y0)的置信区间的差别就在于根号里多个1。 预测区间的长度2?与样本量n、x的偏差平方和lxx、 x0 到 的距离 有关。 当 时，预测精度可能变得很差，在这种情况下的预测称作外推，需要特别小心。另外，若x1, x2,?, xn较为集中时，那么lxx就较小，也会导致预测精度的降低。因此，在收集数据时要使x1, x2,?, xn尽量分散，这对提高精度有利。 当n较大时（如n 30)， t分布可以用正态分布近似，进一步，若x0与 相差不大时， ? 可以近似取为 。 例8.4.4 在例8.4.2中，如果x0=0.16，则得预测值为 若取? =0.05，则t0.975(10)=2.2281， 又 ，应用(8.4.21)， 故x0=0.16对应因变量y0的均值E(y0)的0.95置信区间为(49.4328-1.0480, 49.4328+1.0480)