柯西积分公式（复变函数）.ppt

第七节 解析函数与调和函数的关系 一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考 一、调和函数的定义 定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用. 阿尔茨海默症防治相关知识埃及的金字塔有建造方法动画艾司洛尔在神经外科重症中的应用二级二班防溺水等安全教育 第五节 柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考 一、问题的提出 如果我们测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？ 分析 D C z0 C1 D C z0 C1 ∴猜想积分 定理(Cauchy 积分公式) 证明 上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕] 柯西积分公式 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 例 解 由柯西积分公式 三、典型例题 例 解 由柯西积分公式 例 解 根据柯西积分公式知, 例 解 根据柯西积分公式知, 比较两式得 第六节 高阶导数 主要定理 典型例题 形式上， 以下将对这些公式的正确性加以证明。 主要定理 定理 证 根据导数的定义, 从柯西积分公式得 再利用以上方法求极限 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 [证毕] 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 例 解 例 解 由柯西－古萨基本定理得 由柯西积分公式得 例 解 根据复合闭路定理和高阶导数公式, 例5 (Morera定理) 证 依题意可知 参照本章第四节定理二, 可证明 因为解析函数的导数仍为解析函数, 例6 证 不等式即证. * * 阿尔茨海默症防治相关知识埃及的金字塔有建造方法动画艾司洛尔在神经外科重症中的应用二级二班防溺水等安全教育