概率论与数理统计课件第七讲.ppt

两周需要量 Z=X+Y, 概率密度函数为 被积函数不为零。 当 z≤0 时， 因此， 当 z 0 时， 所以，Z 的概率密度为 4.2.3 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y)。求 M = max (X, Y) 及N = min (X, Y)的分布函数。 再由X 和Y 相互独立，得到 M = max (X,Y) 的分布函数为: 即 FM(z) = FX(z) FY(z) . FM(z)=P(M≤z) = P(X≤z, Y≤z) = P(X≤z) P(Y≤z) . 分析：由于 “M = max (X,Y) ≤ z” 等价于“X≤z, Y≤z”，故有 P(M≤z) = P(X≤z, Y≤z). 类似地，可得 N = min (X,Y) 的分布函数 下面进行推广到 n 个相互独立的随机变量的情况。 即有 FN(z) = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] = FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z) . = 1-P(Xz, Yz) FN(z) = P(N≤z) = 1-P(Nz) = 1- P(Xz) P(Yz) . 设X1, …, Xn 是 n 个相互独立的随机变量,分布函数分别为 用与二维时完全类似的方法，可得： N = min(X1,…,Xn)的分布函数为 M = max(X1,…,Xn)的分布函数为 特别地，当X1, …, Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x) 时，有 FM(z)=[F(z)] n ， FN(z)=1-[1-F(z)] n . 需要指出的是: 当X1, …, Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x) 时，常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值分布。 桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的高度、地震的震级等都用极值分布来描述。故，研究极值分布有重要意义。 例 6：如图所示, 系统L 由两个相互独立的子系统 L1,L2 联接而成, 联接方式分别为: (1). 串联； (2). 并联； (3). 备用(开关完全可靠，子系统 L2在储备期内不失效，当L1.损坏时, L2开始工作)。 解：先求X, Y的分布函数 设L1,L2的寿命分别为X和Y，概率密度分别为: 其中?0, ?0, 且?≠?为常数。分别对以上三种联接方式写出系统寿命Z 的概率密度。 (1). 串联时，Z = min{X, Y}， FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)] (2). 并联时， Z = max{X,Y} FZ(z) = FX(z)FY(z) 当 z 0时，有 (3). 备用时， Z=X+Y， 当 z≤0 时，fZ(z) = 0； 习题：对某种电子装置的输出测量了5次，得到观察值X1， X2， X3， X4， X5 。设它们是相互独立的随机变量，且有相同的概率密度函数 求Z=max{X1， X2， X3， X4， X5}的分布函数。 本节是首先介绍随机变量函数的分布问题。对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时, 关键一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值 {X∈ G} 的形式，接着利用 X 的分布求 P { g(X)≤y }。然后介绍求两个随机变量和的分布、两个独立随机变量极大值分布和极小值分布的原理和方法。 小结 需要指出的是，与随机事件的独立性一样，在实际问题中，随机变量的独立性往往不是从其数学定义验证出来的，相反，常是从随机变量的产生的实际背景判断它们的独立性，然后再使用独立性定义中所给出的性质和结论。 例如：若二维连续型随机向量(X,Y)中的分量X与Y相互独立，则 习题：设二维随机向量的分布函数为 小结 本讲首先介绍二维随机向量的边缘分布的概念，二维离散型随机向量边缘分布计算，二维连续型随机向量边缘概率密度的计算; 然后介绍随机变量的独立性。 概率论与数理统计 第十讲 主讲教师：郭念国 河南工业大学理学院 问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 D 的分布, §3.7.1 一维随机变量的函数及其分布 求截面面积 的分布。 3.7 随机变量的函数及其分布 又如：已知 t=t0 时刻噪声电压 I 的分布， 求功率 W=I2R (R为电阻) 的分布等。