风险控制_极值法计算在险价值.docx

风险控制_极值法计算在险价值极值法概述在介绍前面四种计算在险价值的方法时，我们都假设资产收益率的变动服从正态分布或者对数正态分布，但事实上这种假设有时并不成立。而且，在大多数情况下，我们在意的是极端损失所带来的影响，因此，我们预先定义一个阈值，并且统计超出这个阈值的损失，究竟对应多少在险价值，这样，能够更有效地控制投资组合的风险。利用极值理论计算VaR的思路是假定样本数据服从独立同分布的，应用极值理论的POT（Peaks Over Threshold）模型估计超额尾部的分布函数，计算分布尾部的分位数从而估计VaR。超越阈值方法（Peak Over Threshold）假设序列{zt}的分布函数为F(z)，定义Fu(y) 为条件超限分布（conditional excessdistribution function, cedf）,它是随机变量Z 超过阈值u 的条件分布函数，可表示为：Fu(y)= P (Z ?u ≤y |Z u ) y ≥0根据条件概率公式我们可以得到：Pickands (1975)定理证明了，对于一大类分布F （几乎包括所有的常用分布），当u 足够大时，条件超限分布函数Fu(y)，存在一个广义帕累托分布,G’ξ,? (y)使得：Pickands 定理的好处在于原分布下的条件超限分布Fu(y)可以转化，用广义帕累托绝对分布GPD 表示。下图对比了标准GPD(阈值u = 0，σ=1)在ξ=?0.4，ξ= 0，ξ= 0.4的分布图。从图形可见ξ的不同取值取决了尾部的厚度，ξ越小尾部越薄，ξ越大尾部越厚。另外从G’ξ,? (y)函数可见当ξ= ?0.4 0时，y的最大取值为1 /0.4= 2.5，有上界。POT 模型的参数估计根据上述公式我们可以得到，对于给定的一个符合广义的帕累托分布的样本{ y1,VaR,yn}我们可以根据极大似然法估计GPD中的参数ξ,σ。首先根据上述的广义帕累托分布的积累分布函数得到概率密度函数：继而可以得到极大似然函数：对数似然函数Ln(ξ,σ|y)为：通常，ξ≠0，所以用第一个对数似然函数的公式计算ξ和σ的值。也就是说，当这个方程组中的两个方程都取得0值时，对数似然函数取得极大值，因对数似然函数是似然函数的单调函数，所以似然函数取得极大值。也就是要求解下述方程组：为了简化求解过程，对上述方程组进行处理，第一个方程左右同乘ksi的平方，第二个方程左右同乘sigma，得到：进而需要通过牛顿迭代法，对这一方程组的两个参数进行求解。在运用牛顿迭代法时，需要使用到偏导数：利用二元函数泰勒公式在某一点的展开式：可得迭代公式：有了ξ和σ，对于给定某个收益率的异常波动比率q（比如q=5%），我们的在险价值是：其中u是阈值，也就是我们所选的处于最差10%位置上的每日对数收益率的值。N是样本中元素的总数，比如我们选了250日的对数收益率，那么N=250，Nu是超过阈值的元素个数，在我们的例子中Nu=25。