ch4-3 向量组的秩(zc).ppt

五、小结 福 州 大 学 * 第三节 向量组的秩 向量组的等价 向量组的秩 矩阵与向量组秩的关系 求向量组的最大无关组向量组秩的重要结论 第四章 一、向量组的等价 定义１ 若向量组A和向量组B能互相线性表示，则称这两向量组等价. 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B 能由向量组A线性表示. 设有向量组 命题 B B 定理 即 Ax=b 有解， R(A)=R(A,B) 推论 R(A)=R(B)=R(A,B) 复习 解： ∴ 等价 证明向量组 a1, a2与 b1, b2 等价. 定义2 二、向量组的秩 （2）向量组A中任意r+1个向量(若A中有r+1个向量) 都线性相关, 最大线性无关向量组 最大 无关组 的秩. 说明 3、 4、 1、 向量组的最大无关组不是唯一的 说明 5、 向量组与它的最大无关组等价. 2、 7、(重要) 6、 若向量组 A的秩 为 r 即R(A) = r, 则A中任何r个线性无关的向量为它的最大无关组. 定理2 三、矩阵与向量组秩的关系 R(A)=A的行向量组的秩（行秩） =A的列向量组的秩（列秩） 最大无关组的求法: 具体求法 将矩阵 A 用初等行变换化为行阶梯形矩阵 B , 即可找出 B 的最高阶非零子式所在的列 , 其对应于A 所在的列向量就是一个最大无关组. 四、求向量组的最大无关组 同时其所在行即是行向量组的一个最大无关组. 附注 行… 行… B1 说明:初等行变换会保持列向量组间的线性关系 (同解变换). 定理3 五、向量组秩的重要结论 R(A)=R(A,B) 证： 设组A: a1,a2 , ... , am, 组B: b1,b2, ... , bn 按定理的条件, 根据定理1有R(A)=R(A,B) 而R(B) ≤R(A,B) 故R(B) ≤R(A) (这里可转为相应的向量组的秩) 推论1 定理２ 五、向量组秩的重要结论 推论2 设向量组B能由向量组A线性表示, 且它们的秩相等, 则向量组A与向量组B等价 说明：等价 等秩 证明