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数学建模：是一种方法，更是一种意识 ——基于建模思想的小学数学教学举隅 刘万兴 （2014年10月9日） 数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。对教师的工作业绩的评定以及诸如访友，采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。 一、数学模型（Mathematic Model）的定义 数学模型（Mathematical Model）还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。张奠宙教授认为，“广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。但是，按通行的比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫做数学模型。”我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。 数学模型将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。 “把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。” 郑毓信教授在《数学教育哲学》一书谈到：“就数学在古埃及、古巴比伦等地的早期发展而言，人们主要是通过观察或实验、并依靠对于经验事实的归纳获得了关于真实事物或者现象量性属性的某些认识；但是，从现今的观点看，这些只能说是一种经验的知识而不能被看成真正的数学知识，因为，真正的数学知识应当是关于抽象对象的研究”、“原始意义上的七桥问题，即能否一次且无重复地通过哥尼斯堡的七座桥的问题，显然只能说是一个游戏，而不被看成一个真正的数学问题；与此相反，这一问题由于欧拉的合理抽象被变形成了一般的‘一笔画’问题，并通过‘奇点’‘偶点’等概念的引进得到了十分一般的处理，从而获得了真正的数学意义”。 由此可以看出，数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。 小学生学数学似乎都不必要学得这样抽象、这样概括，甚至可以说，小学数学教学中难以有真正的“狭义意义”上的数学建模。有不少老师都觉得很不自信，这好像只是高校专家们的语汇，距离我们的教学实践似乎挺遥远的，小学老师似乎还没有提建模的“功力”。 然而，换一个角度来看，我们又应该清醒地知道“建模”、“模型”对于数学、对于数学学习的重要价值，因为数学本就是模式的科学。《译林》杂志曾刊载过这样一则笑话： 父：如果你有一个桔子，我再给你两个，那你数数看一共有几个桔子？ 子：我不知道，因为在学校里，我们是用苹果数的。 这只是一则笑话而已，在我们的现实生活中应该不会存在，老师在教学生时，一定是这样教的：1个桔子+2个桔子=3个桔子，1个苹果+2个苹果=3个苹果，1个人+2个人=3个人，1颗树+2颗树=3颗树，…，直至抽象出1+2=3。数学抽象本身就是一种概括，一种建模的过程，也就是集中地表明了一类事物或现象在数量等方面的共同特性。据此，1+2=3，也是一个模式的、模型的存在。从这个意义上看，我们的每堂数学课可能都是在建立数学模型。 就小学数学教学而言，深入到“模型”、“建模”的意义上来说，具有鲜明的阶段性、初始性特点，它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”在此基础上，初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 二、数学建模的分类 数学建模一般可分为三类：概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型。 一是概念型数学模型：建模与生活原型 “认识方程”教学片段（略） 实际上就是这样的四类：①没有未知数也不是等式；②有未知数但不是等式；③没有未知数但是等式；④含有未知数而且是等式。像5＜7、7＞5 和5+2=7、这两类式子大家都比较熟悉，而X +210、X+2﹤10这类式子比较复杂，我们到中学会更深入地了解它。像X+2=12这样含有未知数的等式就是我们今天要重点研究的方程。 在这个片段的教学中老师借助天平帮助学生体悟等式和方程的含义，为抽象