几何学是一门源远流长内容丰富的数学分支.DOCVIP

基本图形与初中几何教学 ——试论“相似三角形”中的基本图形 内容提要：几何研究的对象是图形，识图是学习几何的基本功，而所有的图形都是由基本图形组成和发展变化而来的。相似三角形中就有许多特殊的基本图形。这些基本的规律图形是非常重要的，它是我们遇到的许多复杂图形的底图。在复杂的图形中，如果能够发现一些基本图形的话，对找到证明途径往往具有很大的启示作用。本文通过对相似三角形中的几种基本图形的分类和分析，以及典型例题的证明，进一步说明了基本图形的重要作用。 几何学是一门源远流长、内容丰富的数学分支。它是数学领域里一门极为重要的学科。而几何是生活中的物质空间的数学化，把物质空间作为教学活动的源泉，它研究的对象主要是学生日常生活中经常接触的东西。初中几何的内容包括：（1）线段、角；（2）相交线、平行线；（3）三角形；（4）四边形；（5）相似形；（6）解直角三角形；（7）圆。 从内容和教学课程的安排上，我们可以看出，相似形不仅是几何学庞大知识链中承上启下的一环；也是初中数学教育的重要组成部分。“相似形”的内容是在“全等形”的基础上研究的，是有关全等知识的拓广和发展。从变换的角度来讲，也就是由保距变换进入到保角变换。但它也是几何中其他一些知识的基础，如为引进“锐角三角函数”作好了知识上、方法上的准备，又为证明圆幂定理等奠定了理论基础。相似形还是研究其他学科的基础，如物理学中的“力学、光学”等知识也需利用相似三角形性质，同时相似形知识还有很重要的实用价值，如“工程设计、放大样、测量、绘图”等方面的工作都要用到这部分知识，因此这部分内容的学习对于今后参加生产劳动从事实际工作也具有重要作用。由于相似形是采用广泛联系着的比较抽象的相似变换的方法，再加上它所涉及的内容广泛，使之成为初中几何教学中的难点之一，而学好这部分的知识内容关键就是掌握其中一些主要的基本图形。 其实学习平面几何,就是创造条件使一般图形向基本图形转化,然后利用基本图形的性质去解决问题,培养学生由具体到抽象,由“求真”的科学文化知识教育，将人类几千年沉积的科学文化成果转化为学生的个体身心的文化素质。所以，掌握图形的本质，特征，联系，应用是学好平面几何，培养学生文化素质的重要一议。 所谓基本图形，就是直接由定义、判定定理或性质定理所给出的一些几何图形。如三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。字母表达式为：∠A+∠B+∠C=180°。 图1就是该定理的基本图形。又如平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。字母表达式为：=。 图2就是该定理的基本图形。可见，定理决定了图形，图形表达了定理，知其一，便知其二。基本图形的展示可使学生结合图形能具体形象的理解掌握定理，进行了“求真”的科学文化知识的教育，加之“求美”的艺术图形的构成，使学生在快乐的教学过程中掌握知识，提高了文化素质，进而也提高了学生的能力。 基本图形之间是有联系的，明确与其联系演变，对掌握基本图形及应用有着重要作用。因此，必须根据学生的特点，为学生创设良好的思维环境，使之由形象思维向抽象思维过渡。如：平行线分线段成比例定理是相似一章的基本定理。同样，其基本图形也是本章其它图形的基础。三角形一边平行线判定，内外角平行线性质定理，相似三角形的判定定理，三角形中位线定理都是由平行线分线段成比例定理演变来的。 因为学生的思维是不定向和不稳定的，通过基本图形的演变和学生对其定理的形式的掌握，会使学生的思维模式逐渐形成，理解力和记忆力也随之增强，开发了学生身心的潜能，使知识成果在学生的身心结构中积沉和内化。 一、基本图形Ⅰ 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。 字母表达式：=或AB*AE=AD*AC（图3、4） （一）基本型（图3） 例1 已知如图Ⅰ—1，在△ABC中，点M是BC边上的中点，点D是AC边上的一点，且满足=,连结BD交AM于点E，求的值。 解：过点M作BD的平行线交AC于点N ∵MN∥BD ∴△CMN∽△CBD ∴= 又∵点M是BC的中点 ∴CM=MB ∴CN=DN 又∵= ∴= ∴= 同理又∵MN∥ED ∴△AED∽△AMN ∴== 求线段的比例关系通常让人联想到平行线分线段成比例定理，而运用此定理的关键是要有平行线，所以此类题型就转化为如何添置平行线的问题了。 如何迅速发现要利用的相似三角形是解题中的重点和难点。常见的方法是把稍有变化的题目转化为已经熟悉的题目和基本图形，如添辅助线（特别是平行线）、变式、等量代换等。 例2 已知如图Ⅰ—2,过菱形ABCD的顶点C的直线分别交BD、AB、AD的延长线于E、F、G。若AG=2AF,求证:EB=BD。 证明： ∵