偏导数-Read.PPT

定义1. 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数 （不求导数的其它变量看成常数）. 从以上例子我们注意到如下事实： 若在f(x,y)的表达式中将x换为y,同时将y换为x时，表达式不变，则称函数f(x,y)对x，y时有轮换对称性。 对具有轮换对称性的函数，如果已经求得偏导数 ，则只要在 的表达式中将x 换成 y，同时将y 换成x，就可得到 。 注意： 例6. 证明函数 例5. 求函数 例如, 定理. 同样 例7 例8 内容小结 作业 * 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏导数与全微分 第十二章 一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究气体的状态方程 PV=RT. 等温过程中体积关于压强P的变化率 在物理学中经常考虑： 等压过程下的气体体积关于温度的变化率问题 (R是普适气体常数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将状态方程写成 其中P为常数 其中T为常数 在数学上就等价于要研究二元函数当一个变量不变时，关于另一个变量的导数问题。 在等压过程中，气体体积关于温度的导数大于0，这说明此时体积随温度的变化而单调增加，即 温度上升时体积增大，温度下降时体积减少 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这些是熟悉的物理规律。 为此，我们引入偏导数的概念。 在等温压过程中，气体体积关于压强的导数小于0，这说明此时体积随压强的变化而单调减少，即 压强增大时体积收缩，压强减少时体积膨胀 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出) 因此,计算多元函数的偏导数，就可以按照一元函数的求导法则和求导公式进行。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 证: 例3. 求 的偏导数 . 解: 求证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如： 例1，例3 . 这种方法可以推广到二元以上的函数 . “可导必连续”是一元函数中所熟悉的性质，但在多元函数来讲，类似的性质并不成立。 显然 例如, 即函数偏导数存在，但不一定连续. 上节例 目录 上页 下页 返回 结束 但 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号, 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数: 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为 满足拉普拉斯 证： 利用对称性 , 有 方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 机动 目录 上页 下页