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例谈高考数学、对数函数问题解析 0难点剖析 (3)tan75.一tan(45.+30.)一 tan45.+tan30.一1+一. A.0个B1个C.2个n 3个 错解:选C 分析:(1)因受0lt;sinalt;1的 影响,而错误地认为0lt;tana~1,正 确说法为:若a为锐角,则tana~0; (2)在△ABC中,tanA一-Z-的 前提是C一90.; (3)tan75.不是tan与75.的积, 而是一个整体,tan75.表示75.的正 切,并且tan75.一tan(45.+30.)≠ tan45.+tan30.. 正解:选八 三,概念不清致错 例3 如图1,直升 机在长江大 桥A8上方 的P点处, 此时飞机离 地面高度为akin,且A,图1 B,0三点在一条直线上,测得点A 的俯角为a,点B的俯角为口,求长 江大桥AB的长度. 错解:在Rt△A0lP中,tan AP0一,LAPO=a, 所以OA=OPtar~. 在Rt△BPO中,因为tan ~BPO=OB ,/BPO=:, 所以OB=OPtan~BPQ 所以AB—OA～0lB—OP(tana — tan~)一口?(tam—tan日). 分析:把从P点观测A点的俯 角误认为AP0,从P点观测B点 的俯角误认为BP0,这是对俯角 定义的误解. 正解:根据题意,得PAO— ,PBo=且 在Rt/XPOA中,因为tan LPAO一, 所以0.4--V.E. 在Rt/XP0B中,因为tan LPBO一, 所以0B一OP 所以AB=OA—OB一OP 0P ta 一 oP (一南)一.(作者单位:河南省确山县第二 初级中学) 一冯书华 指数函数,对数函数是高考 考查的重点内容之一,本节主要 帮助考生掌握两种函数的概念, 图象和性质并会用它们去解决 某些简单的实际问题. 例1已知过原点0的一 条直线与函数—logz的图象 交于A,B两点,分别过点A,B 作轴的平行线与函数Y— log2z的图象交于C,D两点. (1)证明:点C,D和原点0 在同一条直线上; (2)当BC平行于.72轴时, 求点A的坐标. 命题意图:本题主要考查对 数函数图象,对数换底公式,对 数方程,指数方程等基础知识, 考查学生的分析能力和运算 能力. 解:(1)证明:设点A,B的 横坐标分别为,z,由题意 知,z1gt;1,z2gt;1,则A,B纵坐 标分别为log8cr】,log8X2.因为 A,B在过点O的直线上,所以 一 ,点C,D坐标分 别为(l,logzCO1),(x2,logzxz), 由于log21一一3log8 Iu~,8 log2z2一考一3log8所以uS8 OC的斜率:是一一 2 ,OD的斜率:忌一 一 .由此可知,走1 = ,即0,C,D在同一条直 线上 (2)由BC平行于轴知, log2z1一log8crz即log2z1一寺 log2z2,代人-;/72log8Xl— 1log8z2得l.log8or1— 3x1log8l,由于zlgt;1知, log8zl≠0,...z1.一3xl.又Xl gt;1,..z一√3,则点A的坐标 为(√3,log√3). 例2在xos平面上有一 点列Pl(n1,b1),P2(az,b2),…, (n,b)…,对每个自然数 点P,位于函数3,一2000() (Olt;Ⅱlt;1)的图象上,且点, 点(,2,O)与点(+1,O)构成一个 以P为顶点的等腰三角形. (1)求点P的纵坐标b的 表达式; (2)若对于每个自然数, 以,+,+.为边长能构成一 个三角形,求n的取值范围; (3)设—lg()(∈ N),若a取(2)中确定的范围 内的最小整数,问数列{G)前 多少项的和最大?试说明理由. 解:(1)由题意知:a一+ 寺,..b一2OOO().厶1U (2).函数.),一2000() (Olt;nlt;10)递减,..对每个自然 数n,有gt;bgt;+z,则以 ,+,+为边长能构成一个 三角形的充要条件是b+z+ +1gt;,即().+嚣)一1gt; 0,解之得nlt;一5(1+√2)或口gt; 5(一1), . . 5(一1)lt;alt;1o. (3)..5(一1)lt;口lt;10, . . .a一7. . . 一2000().数列 {b}是一个递减的正数数列,对 每个自然数≥2,B一B一. 于是当≥1时,Blt;B,当 blt;1时,B≤B¨一,因此数列 {B}的最大项的项数满足不 等式b≥1且b+lt;1,由一 2OOO()≥1,得≤2O.8....n iU 一20. 本节问题以及解决的方 法有: (1)运用两种函数的图象和 性质去解决基本问题,此类题目 要求考生熟练掌握函数的图象 和性质并能灵活应用. (2)综合性题目.此类题目 要求考生