0910线性代数真题及答案.doc

全国2009年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明：在本卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．行列式第二行第一列元素的代数余子式=（ B ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 解： 2．设为2阶矩阵，若=3，则（　C　） A． B．1 C． D．2 解：，∴ 3．设阶矩阵、、满足，则（　A　） A． B． C． D． 解： 4．已知2阶矩阵的行列式，则（　A　） A． B． C． D． 解：∵ 5．向量组的秩不为零的充分必要条件是（　B　） A．中没有线性相关的部分组 B．中至少有一个非零向量 C．全是非零向量 D．全是零向量 6．设为矩阵，则元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（　C　） A． B． C． D． 7．已知3阶矩阵的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（　D　） A． B． C． D． 解：∵的特征值为-1，0，1∴ 它的特征多项式分别为： 8．下列矩阵中不是初等矩阵的为（　D　） A． B． C． D． 9．4元二次型的秩为（　B　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：与此二次型相对应的实对称矩阵为 所以，其秩为2. 10．设矩阵，则二次型的规范形为（　D　） A． B． C． D． 解：设，则 令∴ 再令，则 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．已知行列式，则__2____. 解： ∴ 12．已知矩阵，且，则=______. 解： 13．设矩阵，则. 解：∵ ∴， 14．已知矩阵方程，其中，则. 解：∵ 15．已知向量组线性相关，则数_1_____. 解：令三向量所拼成行列式 则时，向量组线性相关。 16．设向量组，且，则向量组的秩为___2___. 解： 17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为，若该方程组无解，则 的取值为______. 18．已知3阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=__24____. 解：∵3阶矩阵的特征值分别为1，2，3∴存在可逆矩阵使得 即 19．已知向量与正交，则数. 解：∵ 20．已知3元二次型正定，则数的最大取值范围是______. 解： 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分) 21．计算行列式的值. 解： 22．设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，求||. 解：∵，，，， ，而， 23．已知线性方程组 (1)讨论常数满足什么条件时，方程组有解． (2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)． 解：（1）将其增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵T 因此，当时，方程组有解； （2）根据T写出该方程组的同解方程为： 3个未知数2个方程，必有1个自由未知量，这里取为自由未知量， 令得，，得该线性方程组的特解 再根据T写出该方程组导出组的同解方程为：， 再令得，∴该方程组导出组的同解方程的一个基础解系为 该方程组的通解为，k为任意实数。 24．设向量组， 求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示． 解：把所有为列向量形成4×4的矩阵，并将其化为简化行阶梯形矩阵 B即为A的简化行阶梯形矩阵。易见B的秩为3，即A的秩也为3，即； 向量组是B的一个极大无关组，从而, 向量组就是A的一个极大无关组，，从而有， 25．设矩阵，存在，使得 ；存在使得.试求可逆矩阵，使得. 解：由，使得； 可知是的属于其特征值5的特征向量，是的属于其特征值-1的特征向量； 因此，可得为可逆矩阵，并有； 同时，可知是的属于其特征值5的特征向量，是的属于其特征值-1的特征向量； 因此，可得为可逆矩阵，并有； ∴，， ∴ 由 得∴ 26．已知二次型，求一正交变换，将此二次型化为标准形． 解：由二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3可得其相对应的对称矩阵为 ∴该方阵的特征多项式为 属于的特征向量满足的齐次线性（矩阵）方程组为 3个未知数一个方程，必有2个自由未知量，这里取为自由未知量， 取，都得 ∴可得两个特征向量和 属于的特征向量满足的齐次线性（矩阵）方程组为 3个未知数2个方程，必有1个自由未知量， 这里取为自由未知量，取，得 ∴可得两个特征向量 为获得正交矩阵，对向量组实施施密特标准正交化 ∴相应的单位向量 ，∵ ∴ ∴相应的单位向量 ∵ ， ∴ ∴相应的单位向量 将此三向量拼凑成 根据定理5.4.2