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qinwl@ qinwlxu@163.com 第五章 概率统计基础知识 第一节 概率的基础知识 一、事件及其概率 *（一）随机现象 掷一枚硬币，国徽朝上（正面）或朝下是不定的；任取1件产品，在未决定哪1件产品之前，取得的是正品或次品是不定的；掷一粒骰子出现的点子数也是不定的，这些现象都是随机现象。 随机现象就是在一定条件下并不总是出现相同结果的现象。 随机现象有两个特点： （1）结果至少有两个； （2）至于那一个出现，事先并不知道。 随机现象的每一个可能结果叫样本点；所有样本点的全体叫样本空间。 概率论与数理统计是研究随机现象的科学。 （二）随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合。在一定条件下，随机事件可能发生也可能不发生。 例如：掷一硬币，“国徽朝上（正面）”是随机事件；掷一粒骰子，“点子数3”是随机事件；10件产品，其中有2件次品，任取4件，在未决定取哪4件产品之前“所取得的4件中恰有2件次品”也是随机事件。随机事件用大写字母表示，上述3随机事件可分别记为A,B,C。随机事件通常简称为事件。 例 随机现象的样本空间中至少有（ ）个样本点。 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答 C 样本空间记为，也称为必然事件。不包含基本事件的集合称为不可能事件，记为。例如“点子数=1.23”=。 注意：任一事件都是相应样本空间的一个子集；事件A发生当且仅当A中某一样本点发生。 例 设要抽查3件产品：每件产品可能是正次品。则样本空间由8个样本点（在括号内顺序标明每件产品是正、次品）{（正，正，正），（正，正，次），（正，次，正），（次，正，正），（正，次，次），（次，正，次），（次，次，正），（次，次，次）}组成， A=“至少有一件合格品”={（正，正，正），（正，正，次），（正，次，正），（正，次，次），（次，正，正），（次，正，次），（次，次，正）}； B=“至少有二件不合格品”={（正，次，次），（次，正，次），（次，次，正），（次，次，次）}； C=“恰好有一件合格品”={（正，次，次），（次，正，次），（次，次，正）}； “至少有四件合格品”。 随机事件的关系： 1、包含：“A的样本点全是B的样本点”，或“A发生B必发生”，称为B包含A或A含于B，记为。 例如掷一粒骰子，A表示“点子数3”，有2个样本点A={1，2}；B表示“点子数5”，B={1，2，3，4}，则。 2.互不相容（互斥）：“A， B没有共同的的样本点”，或“A、B”不能同时发生，称为A、B互不相容（互斥），记为。例如掷一粒骰子，A表示“点子数3”，B表示“点子数4”，则。 3.相等：“A、B有同样的样本点”，则且，记为。例如掷一粒骰子，A=“点子数3”，B=“点子数”则A=B。 (三) 事件的运算： 1、事件的交（积）：“A、B共同的样本点” 所成的事件称为的交（积），记为。例如掷一粒骰子，A表示“点数5”,B表示“点数2”，则AB表示点数=3或4。又如表示“第1道工序加工出的是正品”，表示“第2道工序加工出的是正品”，则 表示“经两道工序加工出的是正品”。 2、事件的并（和）：“A、B的全部样本点” 所成的事件或“两个事件至少有一发生所成的事件”，称为的并，记为，例如掷一粒骰子A表示“点数5”,B表示“点数2”，则表示“点数=1至6”，即必然事件。由若干事件，至少有一个发生所成的事件，称为这些事件的并。 3、对立事件（事件的逆）：“样本空间去掉A的样本点” 所成的事件称为A的对立事件，或A的逆。记为（A逆）。例如掷一粒骰子，A表示 “点数2”，则表示“点数为1或2”。又如表示第1道工序加工出的是次品，则表示第1道工序加工出的是正品；若A表示密码被破译，则表示密码未被破译。 例 若A与B为互不相容事件，则有( )。 A AB= B AUB= C D 选A、C、D 例 若A与B为两个事件，成立的条件是( B )。 A B C D （四）事件的概率 **概率：在一定条件下，随机事件A发生的可能性大小称为随机事件A的概率，记为P(A)。 **随机事件概率的性质 1.。 2.，。 3.若。 4.**对于互不相容的事件有 。 5. 因为。同理 6.若事件A与B相互独立（即一个事件发生不影响另一个事件的发生），则 例 加工某零件需经过三道工序，已知第一，第二，第三道工序的不合格品率分别是2％，4%， 7％，且各道工序互不影响，则经三道工序加工出来的批产品的不合格品率是（ ） A. 0.130 B. 0.125 C. 0.025 D. 0.275 答 设A、B、C表示经第一，第二，第三道工序後合格，则经三道工序加工出来的产品的是否合格独立