2012线代复习指南.doc

《线性代数》复习 1. 对全学期课程作一个框架式总结； 2.概述主要的基本概念、理论要点和算法要求； 学习要求：“融会贯通” “融会”—设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”—掌握前后知识点之间的顺承关系。 §1 整体框架：五个模块――“三大工具、两大问题”。 “三大工具”：行列式（运算工具）、矩阵（运算工具）、向量空间（思维工具）； “两大问题”：多元一次问题（线性方程组）、多元二次问题（二次型）。 模块结构图及主要内容关系框图大致如下： 第一阶段 第二阶段 §2.两个阶段，两大理论： 一、两个阶段： 第一阶段：行列式（Ch.1）→ 矩阵（一）（运算、初等变换、秩）（Ch.2 Ch.3）→ 向量空间（－）（线性相关性、秩）（Ch.3）→ 线性方程组（Ch.3Ch.4）；解决一次问题； 第二阶段：向量空间（二）（空间结构（基，维）、基本度量、正交阵）（Ch.4Ch.5）→ 矩阵（二（特征值、矩 阵变换、对角化）（Ch.5）→ 二次型（Ch.5）；解决二次问题。 二、两大理论： 线性代数的解析理论——矩阵理论（行列式、矩阵、线性方程组、二次型） （1）行列式的定义、性质、计算、证明； （2）矩阵的定义、性质、运算、初等变换、秩、特征值、特征向量、相似对角化、正交对角化； （3）方程组的Gauss消元法、初等变换、基础解系、通解、特解； （4）二次型的标准化、规范化、惯性指数、正定负定； 线性代数的几何理论——空间理论（向量欧氏空间、线性方程组解空间、二次型主轴定理） （1）向量、向量的线性运算； （2）向量间的线性关系（线性相关、无关）；向量组间的关系（线性表示、等价）； （3）向量与向量组的关系（线性表示）；向量空间； （4）内积运算、欧氏空间； （5）向量的长度、夹角、正交、规范正交向量组； （6）规范正交基、Schmidt正交化； （7）线性方程组解空间的结构、二次型的主轴定理（化二次型为标准型）； （8）空间与空间的转换关系：过渡矩阵 §3 一条主线：矩阵 就期末考试而言，应抓住矩阵作为主线，把握主要的概念、理论和算法；9空间为体，矩阵为用, 几何是脑力劳动，代数是体力劳动。 一、 矩阵的基本算法： 1. 代数运算：六种代数运算（加法、数乘、乘法、求逆、转置、行列式）必须熟练掌握（可运算的条件、运算法则、运算律、一些须注意之 点）； 2. 分块：一些常用分块法、分块形式下的运算； 3. 初等变换：一定要学会化行阶梯形、最简形；会用来解方程组； 4. 特征值和特征向量，也应熟练掌握其完整的算法 二、矩阵的秩：先用“回溯法”把主要概念串起来： 矩阵的秩 ← 向量组的秩 ← 最大无关组 ← 线性相关与线性无关 ← 线性组合与线性表示 ← 向量及其线性运算， 这是一条逻辑主线，然后在各部分挂上主要的定理和方法，整个第四章的内容就基本囊括了，且能使众多概念、定理、算法井然有序； 三、矩阵变换：第二阶段，在初等变换的基础上再前进一步： 1. 相似变换与对角化：主要性质、可对角化的条件、实施过程（算法）、应用（矩阵的高次幂）； 2. 合同变换：要求相对低一些，知道概念和性质即可，算法不要求； 3. 正交变换： （1）先用回溯法理顺概念： 正交变换 ← 正交阵 ← 正交（规范）基 ← 正交（规范）组 ← 正交、规范 ← 夹角、范数← 内积； （2）再回顾正交阵的主要性质，特别是 A?1 = AΤ ，便可与相似变换、合同变换挂钩； （3）应用：实对称阵的对角化（→ 二次型的标准化）。 注意：比较不同变换的条件、性质、变换过程（算法）、应用范畴、相互关系，在比较中把握。 §4 区别与联系： 一、行列式和矩阵 ①矩阵是表格，加法、数乘、乘法、求逆、转置、行列式运算用等号连接；矩阵的等价，初等变换化阶梯形、最简形，求秩，解方程组符号为波浪号或箭头；行列式是数值，计算用等号连接。 ②矩阵3种初等变换（互换，倍加，倍乘），表示的符号与行列式相同，运算方式相同（只针对一个行（列）进行运算），但行列式互换时要添负号。矩阵的加法、数乘针对所有元素进行计算，乘法满足左行右列法则，方阵的行列式满足行列式的运算规律。 ③余子式、代数余子式、k阶子式、顺序主子式：如 中2对应的余子式为：，代数余子式为： 中2阶子式： 顺序主子式： 二、矩阵与方程组、向量 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相③对独立，可以看作是对核心内容的扩展。向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效