2012高考数学压轴题集选(江苏)【2012高考复习必备】.doc

2012江苏高考数学压轴题集选 1. 设为数列的前项之积，满足． (1)设，证明数列是等差数列，并求和； (2)设求证：． 解：(1)∵， ∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴，∴，∴ (2)， ∵ ∴ ，当时， ， 当时，， ∴. 2.函数． （1）试求的单调区间； （2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是； （3）求证：不等式对于恒成立． 解：（1）． 　 当时，，在上单调递增； 　 当时，时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增． 综上所述，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值， 即.而（0，1）在上单调递减，在上单调递增， 在上由唯一的一个零点x=1． 必要性：=0在上有唯一解，且a0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即． 令， ． 当时，，在（0，1）上单调递增；当a1时，， 在上单调递减.，=0只有唯一解a=1． ∴.∴． 3. 已知数列的前项和为，且满足，，其中常数． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的通项公式； （3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与 之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列 的前m项的和?如果存在，求出m的值如果不存在说明理由. ，∴，∴， ∴，∴， …………………………………4分 ∵，∴，∴ ∴，∴数列为等比数列． （2）由（1）知，∴ ……………………………8分 又∵，∴，∴，∴ ……………………………10分 （3）由（2）得，即， 数列中，（含项）前的所有项的和是： …………………12分 当k=10 时，其和是 当k=11 时，其和是 又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数 ………………………………14分 所以当时，， 所以存在m=988使得 ……………………………………16分 4.已知函数． （1）若关于的方程只有一实数解，求实数的取值范围； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最大值．，即，变形得， 显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程， 有且仅有一个等于1的解或无解 ， 结合图形得. ……………………4分 （2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立， ①当时，（*）显然成立，此时； ②当时，（*）可变形为，令 因为当时，，当时，， 所以，故此时. 综合①②，得所求实数的取值范围是. …………………………………8分 （3）因为=…10分 当时，结合图形可知在上递减，在上递增， 且，经比较，此时在上的最大值为. 当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时在上的最大值为. 当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时 在上的最大值为. 当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且, ， 经比较，知此时 在上的最大值为. 当时，结合图形可知在上递减，在上递增， 故此时 在上的最大值为. 综上所述，当时，在上的最大值为； 当时， 在上的最大值为； 当时， 在上的最大值为0.…………………………………………16 5.已知函数.设关于x的不等式的解集为且方程的两实根为.（1）若，求的关系式； （2）若都是负整数，且，求的解析式；（3）若，求证：. 解：（1）由，得，由已知得， ∴，∴. ∴,∴的关系式为. ……………………………………5分 (2)∵是负整数，∴. 由得：，且. ∴,∴. ……………………………………10分 (3)令，又. ∴,即 ……………………………………12分 又是方程的两根， ∴. ∴= 由线性约束条件，画图可知. 的取值范围为，…………14分 ∴. ∴.………………………………………………………………………16分 6.已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围； （Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围． 解:（Ⅰ）(1) 当时，上为增函数 故 当上为减函数 故 即.. （Ⅱ）方程化为 ，令， ∵ ∴ 记∴ ∴ （Ⅲ）方程化为 ， 令， 则方程化为 （） ∵方程有三个不同的实数解， ∴由的图像知， 有两个根、， 且 或 ，