3.D11_3格林公式.ppt

一、 格林公式 证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) 内容小结 思考与练习 2. 设 备用题 1. 设 C 为沿 2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 3. 设 L，D 满足定理2，D有面积σ， 常用微分倒推公式: 积分因子不一定唯一 . 例如, 对 可取 例3. 求解 解: 分项组合得 即 选择积分因子 同乘方程两边 , 得 即 因此通解为 即 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点B(3, 4), 到原点的距离, 解: 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是L的单位 外法矢： 求 L取正向。 （P164—例13） 解: 由于法向量垂直于L的切向量： * 第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十一章 三、全微分方程 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例如, 椭圆 所围面积 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 则 利用格林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 利用格林公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域为D, 由格林公式知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用格 记 L 和 lˉ 所围的区域为 林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应用Green公式时,务必注意以下基本条件: (1) L是简单闭曲线; (2) P,Q在L上及其内部有连续的一阶偏导数. 当L不是闭曲线时,通常用添加辅助线段的方法将L 补成闭曲线. ( 如P164图11-8 ) 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算 其中L 为上半 圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所 围区域为D , 则 原式 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条