4-3可测函数的构造.ppt

上一页 下一页 主 页 返回 退出 * 可测函数与连续函数的关系 定理 1 （鲁津 Лузин） 设 f 是 E 上几乎 处处有限的可测函数，则对任意 ? 0，存在闭 子集 F? ? E，使 f 在F? 上是连续函数，且 结论：连续函数与可测函数的关系： 连续函数一定是可测函数; 可测函数未必是连续函数，但它“基本上”连续. 证明的方法分三步， ⑴ f 是简单函数． 设 其中 Ei 是互不相交的可测集，且 对任意可测集 E 及任意? 0，存在闭子集 F ? E，使 m ( E－F ) ? ． 于是对任意 ? 0，存在闭集 Fi ? Ei，且 令 则 Fδ 为闭集，f 在 Fδ 连续，且 下证: f 在 Fδ 连续. 下证: f 在 Fδ 连续. ⑵ mE ∞ ． 设 f 在E上可测，则存在简单函数列φn 在E上 收敛到 f ． 利用叶果洛夫定理， 存在集合 E0 ? E，使 φn 在E0 上一致收敛到 f ，且 m ( E－ E0 ) ? /2， 由（1）知，存在闭集 Fi ? E0 ，i =1, 2, ? ? ? ， 使φi 限制在Fi 上是连续的，且 令 于是 存在集合 E0 ? E，使 φn 在闭集F? 上是一致收敛 到 f 的连续函数列，从而f 在F? 上连续且 m ( E－ F? ) ? m ( E－ E0 ) + m ( E0 － F? ) ? ． ⑶ mE = ∞ ． ⑵ mE ∞ ． 设 f 在E上可测，则存在简单函数列φn 在E上 收敛到 f ． 利用叶果洛夫定理， 存在集合 E? ? E，使 φn 在 E?上一致收敛到 f ，且 m ( E－ E? ) ? /2， 从上述定理的证明中可得： 闭集上的简单函数为连续函数． 叶果洛夫定理中的Eδ可取为闭集．