计算流体力学课程教学课件第三讲有限差分法.ppt

作业 3.1 对如下单波方程 构建的差分格式如下： 试利用Fourier方法，分析其稳定性 * 计算流体力学讲义2011 第三讲 有限差分法（1） 知识点： 差分方法的理论基础 （相容、收敛、稳定性；Lax等价定理；精度、修正方程; 守恒性） 差分格式的构造 差分格式的Fourier分析 * 知识回顾 1. 双曲型方程组及其特征方程 特例： 一维等熵流动 特征线1： 沿特征线Riemann不变量保持常数 特征线2： 2. 双曲型方程的间断解 弱解： 间断线上满足积分关系式（R-H关系） 熵条件： 特征线汇集于间断线 3. Riemann间断解 x t （1） （2） （3） （4） 精确解: Godnov 近似解： HLL, HLLC, Roe 传统计算方法： 有限差分法， 有限体积法 ， 有限元法， 谱方法（谱元法）等； 最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格 优点 缺点 适用范围 有限差分法 简单成熟，可构造高精度格式 处理复杂网格不够灵活 相对简单外形的高精度计算 有限体积法 守恒性好，可处理复杂网格 不易提高精度（二阶以上方法复杂） 复杂外形的工程计算 有限元法 基于变分原理，守恒性好 对于复杂方程处理困难 多用于固体力学等 谱方法 精度高 外形、边界条件简单 简单外形的高精度计算 粒子类方法 算法简单，可处理复杂外形 精度不易提高 复杂外形的工程计算 第三讲 有限差分法（1） * 3.1 一维均匀网格上的差分格式 1. 差分法基本原理 基本功能： 计算导数 … j-2 j-1 j j+1 … 已知（一维均匀网格上的）函数分布，计算其导数值 计算出离散点上的导数值 时间积分，计算出下一时刻的值 最简单的差分格式： 2. 构建差分格式的基本方法： 待定系数法 * … j-2 j-1 j j+1 … 已知均匀网格点上物理量的分布为 ， 试给出导数在j点值 的表达式。 Step 1: 确定基架点（Stencil） 差分基架点：计算j点导数需要使用的点 根据计算量、精度需求等要求而定 例： 使用 j-2, j-1, j 3个点上信息计算 Step2: 写成待定系数形式 Step3: 利用Taylor展开，确定系数 … j-2 j-1 j j+1 … 差分格式 截断误差 计算差分格式系数的小程序，流体中文网下载 3. 差分格式基本概念： a. 差分表达式（差分格式）、截断误差、精度 导数= 差分 +截断误差 截断误差= n阶精度 给定一个差分格式，如何判断精度？ 方法1： 理论推导: Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难） 方法2： 数值实验 给定一测试函数（可精确求导），计算误差对网格尺度的依赖关系 n = 斜率 b. 前差、后差、中心差 … j-2 j-1 j j+1 … 前 前差 中心差 后差 其他： 向前（后）偏心差分； 后 差分方程 经差分离散后的方程，称为差分方程 微分方程 = 差分方程+ 截断误差 * 半离散 （只离散空间导数） 全离散 d. 差分方程的修正方程 修正方程—— 差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程 微分方程=差分方程+截断误差 差分方程=微分方程-截断误差 = 修正方程 例： 微分方程 的差分方程为： 试计算其修正方程。 思路： 先计算单个差分格式的截断误差，再计算差分方程的误差 逼近差分方程的微分方程 通常，修正方程不出现时间高阶导数项 （便于进行空间分析） 等价于 修正方程 截断误差 微分方程 差分方程 修正方程的主项 一阶精度； 耗散型； d. 显格式及隐格式 显格式： 无需解方程组就可直接计算n+1层的值； 隐格式： 必须求解方程组才能计算n+1层的值 常用的显格式： 1阶Euler 3阶R-K方法 如果 是准确的，则 也是准确的 （假设边界条件没有误差） e. 守恒型差分格式 基本思想： 保证（整个区域）积分守恒律严格满足 定义：对于上述守恒型方程，差分格式 称为守恒型差分格式。 其中： 特点： 消去了中间点上的值，只保留两端 物理含义： 只要边界上没有误差，总体积分方程不会有任何误差。 守恒性的例子： 环形管道里的流动 —— 总质量保持不变 * 关于守恒性格式的一些注解 中的