计算流体力学课程教学课件第四讲差分方法.ppt

概念澄清： 流通矢量分裂本身不带来耗散， 但其会影响到差分的耗散; 举例： 分裂过程 耗散 如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂不带来耗散。 = + 向上平移 向下平移 分裂 差分格式 耗散 分裂后的流场越偏离原先流场，则总体耗散越大 精确满足，不引入误差！ 如使用低精差分度格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用特征分裂） 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感 （可使用逐点分裂） * 3. 特征重构方法 常系数方程组： 完全解耦 变系数情况—— 局部冻结系数 … j-2 j-1 j j+1 … 在基架点上系数 不变 计算： 在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理 局部冻结系数 分别采用后差和前差 优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。 * 通常写成守恒型差分，计算 … j-2 j-1 j j+1 … 在基架点上系数 不变 具体步骤： 假设已知 U， 且针对模型方程（线性单波方程） 已构造出差分格式 （1） 1） 计算出 教材130页的公式(6.1.11-6.1.13), 式中用到各变量在j+1/2的值（例如 ） 可使用j, j+1 点值的算术平均 （如 ） 或Roe平均 （教材6.4节）； 由 计算；方法很多，例如前面介绍的 或 * 均可 2） 在网格基上计算 … j-2 j-1 j j+1 … 计算fj+1/2用到的点 注意，在该网格基上（例如k=j-1,j,j+1） 保持不变 例如： 3) 利用已构造好的差分格式，计算通量 4） 得到总通量 5） 计算差分 （j点处） 步骤的算法描述 （注意： 实际上是两重循环） do j=1,N do k=j-1,j+1 (网格基，可以是更多或更少点) enddo enddo do j=1,N enddo 需要多次矩阵运算，计算量大 守恒性好，耗散小，数值解质量好 * 作业题1： 构造高分辨率差分格式，并进行理论分析及数值实验 针对单波方程： 对于空间导数，构造出一种不超过6点格式；并进行Fourier误差分析，画出kr,ki的曲线。 要求：精度不限； 网格基架点数不超过6个； 能够分辨的波数范围尽量宽； （即kr,ki曲线近可能接近准确解） 给出差分的具体表达式， 画出kr,ki的曲线； 说明构造格式的阶数，并采用本PPT第5页的方法给出的精度验证； 形如： …… 另外，进行如下数值验证： 空间采用20个网格点，采用新构造的差分格式离散；时间推进采用3步Runge-Kutta方法，时间步长可足够小（例如0.01）。给出t=20,50两个时刻的数值解，与精确解比较（画图），并给出数值解的L2模误差。 * 提示： 1. 如不使用优化技术，则格式构造方法简单， Taylor展开后解代数方程组即可。 2. 建议尝试使用优化技术 例： 假设格式形式如下 如果要求其有5阶精度，则通过Taylor展开可得到6个方程，6个系数可直接解出。 我们要求其有4阶精度（当然3阶，2阶也可），于是Taylor展开只能提供5个方程。 6个未知数（a1-a6）， 5个方程； 有1个自由参数。 调整这个自由参数，使得kr,ki曲线最为理想。 如何调整？ 1) 可以人工调整，观察kr,ki曲线，选取满意的。 2）可自动调整，设立一个优化目标函数。 例如 调整自由参数，使得该目标函数取最大值。 思路：牺牲精度，提高分辨率 * 作业题2 （选作题）： 构造更高分辨率的GVC格式 对于空间导数，构造出一种不超过6点的GVC格式。要求： a. 精度不限； b. 网格基架点数不超过6个； c. 求解模型方程 计算结果间断尽量保持“锐利”; 计算结果