量子力学第二章波函数和薛定谔方程粒子流密和粒子数守恒定律.ppt

* * 2.4 粒子流密度（概率流密度）和粒子数守恒定律（连续性方程） 一、类比知识——流体中的连续性方程 质量守恒方程 某体积 内有密度为 的流体，其质量为 ，在该体积表面上曲面元 上，单位时间内流出该面元的流体质量为 ， 规定: 流出为正，流入为负。单位时间内整个闭合面流出的质量为 单位时间体积V内减少的质量为 上面两式相等 按照高斯定理，上式左侧的面积分化成体积分 于是 因此 令 ——称为质量流密度，单位时间内流过（垂直于粒子流方向）单位面积的质量。得 ——连续性方程。 二、量子力学的连续性方程——概率守恒定律 连续性方程和概率流矢量 设波函数为： 概率密度的时间变化率： 由薛定谔方程和其共轭复数方程 则概率密度（与质量密度类比）： 将上两式代入(1)得： 比较 令： 即 ， 连续性方程： 其中， ——概率密度 ——概率流密度矢量：单位时间内流过（垂直于粒子流方向）单位面积的概率。 量子连续性方程： 经典连续性方程： 在经典力学里，牛顿定律和连续性方程是独立的； 在量子力学里，连续性方程包含在薛定谔方程中 一个简单表达式 反映质量守恒 反映概率守恒 2.概率流动的解释 在某处概率是随时间变化的，即 。如果在该区域内，概率随时间而增加，则在同一时间间隔内，其它区域的概率将减少。这就好像概率通过该区域的分界面，从该区外流入该区域内，形成概率流动。反之亦然。 3. 粒子数守恒 如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则 即在整个空间内找到粒子的概率与时间无关，这反映了粒子数守恒。如波函数是归一的，则它将保持归一性，而不随时间改变。 4.质量守恒： 得 质量流密度： 同理，定义电荷密度： ，电流密度： ，可得量子力学中的电荷守恒定律 用粒子质量 乘以连续性方程 ——量子力学中的质量守恒定律 质量密度： 例1：求平面波函数 的概率密度和概率流密度。 解：由定义：概率密度 概率流密度 由 与流体力学 的表述相同 因为 所以 例2：求球面波函数 ，的概率密度和概率流密度。 解：由定义：概率密度 概率流密度 球面波的 梯度公式：