量子力学第四章态和力学量的表象表象变换.ppt

* * 4.4 表象变换 一、态表象变换 矢量在不同坐标系中的变换 求 与 的关系: 分别点乘上式得： 求 与 的关系: 写成矩阵形式 即 其中 称为变换矩阵 的性质 幺正矩阵 可以证明： 2.量子态的表象变换 态矢量 设在 表象下,本征矢为 表象下, 本征矢为 之间的的关系？——态的表象变换 与 的关系， (1) 左端左乘 积分 右端左乘 积分 令 得： 类比： 不同态 ， ，同一表象 相同态 ，表象不同 u（x）是Q的本征矢 分别是A,B的本征矢 同一个量子态 在表象 中通过一幺正矩阵S相联系。 可以证明： v 幺正矩阵 2. 变换矩阵的性质 证明：S为幺正矩阵 [证] 即： 二、力学量的表象变换 A表象本征函数 力学量算符 如何从 A 表象转换到 B 表象？ B表象本征函数 解决办法：首先设法将 建立联系 1.问题： 2.将 , 用 展开 3.求 三、对角化矩阵的变换——幺正变化的形式 1.问题：自身表象力学量矩阵是对角矩阵，矩阵元是本征值。因此，求某一力学量的本征值，可将矩阵通过幺正变化变为自身表象。如何选取幺正矩阵？ 可以证明 ： 即，S矩阵的第 l 列正是算符 F 对应于本征值 为本征函数，因此一般来说，要是算符对应矩阵对角化，就要求出F 对应的本征函数系，然后把对应于不同本征值的本征函数按列排好以构成幺正矩阵S，则 必为对角化矩阵。 例：设力学量 F 在某一表象A中的矩阵为 ， 其中 为常数，求 1.F本征值、本征方程和在A表象中的正交归一本征函数。 2．求使矩阵F在A表象中的本征方程。 解:1.设力学量 F 在某一表象A中的本征函数为 则 F 在A表象中的本征方程为 不同时为零的条件是 归一化条件 同理： 归一化条件 同理： 2．对角化幺正矩阵S，将本征函数按列排列 由 对角元素刚好是本征值。 四、表象变换不变量 (1).标积 在A表象中： 在B表象中： (2).归一化条件 在A表象中： 在B表象中： (3).平均值 在A表象中： 在B表象中： 平均值是唯一同实验事实直接相联系的量，不应随表象不同而变。 (4).算符本征值 在A表象 在B表象 (5).力学量矩阵的迹 A表象F,B 表象 五、 不变表达式 加法式： 代数式 (2) 力学量矩阵的迹 A表象F,B 表象 定义：一个矩阵 A 的对角元素之和 即： 乘法： 在量子力学中，算符之间的一切代数关系式在表象变换下都是不变的。 (2).算符对态的作用 量子力学的基本公式在表象变换下是不变的，也就是说前面我们所涉及到的量子力学的基本公式是与表象无关的 4.5设已知在 的共同表象中，算符 的矩阵分别为 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵 对角化。 解：设 的共同本征函数为 的本征方程 的久期方程为 ∴ 的本征值为 的本征方程 其中 , 设为 的本征函 数共同表象中的矩阵 当 时，有 ∴