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高数微积分第三版教学课件函数的增减性
首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 §4.3 函数的增减性 观察与思考? 函数的单调性与曲线的切线斜率(导数的符号) 有什么关系? 定理4?3(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在区间(a? b)内可导? 那么 (1)如果x?(a, b)时恒有f ?(x)?0? 则f(x)在(a, b)内单调增加? (2)如果x?(a, b)时恒有f ?(x)?0? 则f(x)在(a, b)内单调减少? 只证(1)? 在(a, b)内任取两点x1? x2(x1?x2)? 应用拉格朗日定理有 f(x2)?f(x1)?f ?(?)(x2?x1) (x1???x2)? 因为x?(a, b)时恒有f ?(x)?0? 所以f ?(?)?0? 又x2?x1?0? 因此? f(x2)?f(x1)?f ?(?)(x2?x1)?0? 即 f(x1)?f(x2)? 这就证明了函数f(x)在(a, b)内单调增加? 证? 定理4?3(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在区间(a? b)内可导? 那么 (1)如果x?(a, b)时恒有f ?(x)?0? 则f(x)在(a, b)内单调增加? (2)如果x?(a, b)时恒有f ?(x)?0? 则f(x)在(a, b)内单调减少? 说明? 判定法中的开区间可换成其他各种区间? 如果在区间(a? b)内f ?(x)?0(或f ?(x)?0)? 但等号只在个别点处成立? 则f(x)在(a? b)内仍是单调增加(或单调减少)的? 解? 例1? 确定函数f(x)?x3?3x的单调增减区间? f ?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)? 当x?(??, ?1)时? f ?(x)?0? 函数f(x)在(??, ?1)内单调增加? 当x?(?1, 1)时? f ?(x)?0? 函数f(x)在(?1, 1)内单调减少? 函数f(x)在(1, ??)内单调增加? 当x?(1, ??)时? f ?(x)?0? 解? 因此函数y?x3在区间(??? ??)内是单调增加的? 例2? 确定函数y?x3的单调性? 因为y??3x2?0? 且只有当x?0时? y??0? 证? 因为在(1, ??)内 所以f(x)在[1, ??)上单调增加? 从而当x?1时? f(x)?f(1)? 由于 f(1)?0? 故 f(x)?f(1)?0? 即 作业: p.196 14(3)(6); 16; 17 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件
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