高数微积分第三版教学课件变量的极限.ppt

首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 §2?3 变量的极限 有关规定? 我们把数列f(n)及函数f(x)概括为 “变量y” ? 把n??? x??? x?x0概括为 “某个变化过程中” ? 那么? 综合数列极限与函数极限的概念? 可以概括出一般变量极限的定义? 定义2?6(变量的极限) 对于任意给定的正数?? 在变量y的变化过程中? 总有那么 一个时刻? 在那个时刻以后? |y?A|?? 恒成立? 则称变量y在此变化过程中以A为极限? 记作 lim y?A? ? 说明? (1)如果变量y是数列yn?f(n)? 则定义中的“变化过程”是指 “n??”? “总存在那么一个时刻” 是指 “总存在一个正整数N ”? “在那个时刻以后”是指 “当n?N时” ? 而 “lim y?A” 应为 定义2?6(变量的极限) 对于任意给定的正数?? 在变量y的变化过程中? 总有那么一个时刻? 在那个时刻以后? |y?A|?? 恒成立? 则称变量y在此变化过程中以A为极限? 记作 lim y?A? 说明? (2)如果变量y是定义于实数集合的函数y?f(x)? 而研究的 变化过程是x??? 则定义中 “总存在那么一个时刻” 是指 “总 存在一个正数M” ? “在那个时刻以后” 是指 “当|x|?M时” ? 而 “lim y?A” 应为 定义2?6(变量的极限) 对于任意给定的正数?? 在变量y的变化过程中? 总有那么一个时刻? 在那个时刻以后? |y?A|?? 恒成立? 则称变量y在此变化过程中以A为极限? 记作 lim y?A? 说明? (3)如果变量y是定义于实数集合的函数y?f(x)? 而研究的 变化过程是x?x0? 则定义中 “总存在那么一个时刻” 是指 “总 存在一个正数? ” ? “在那个时刻以后” 是指 “当0?|x?x0|??时” ? 而 “lim y?A”应为 这里的极限定义和记号概括了两种变量f(n)和f(x)? 在三 种变化过程中(即f(n)在n??时及f(x)在x??或x?x0)的极限问 题? 今后? 凡对两种变量、三种过程均适用的定义、推论或 规律性结论才能使用通用记号 “lim y?A” ? 如果变量y已给出 为具体函数? 则不能使用通用记号? 定义2?6(变量的极限) 对于任意给定的正数?? 在变量y的变化过程中? 总有那么一个时刻? 在那个时刻以后? |y?A|?? 恒成立? 则称变量y在此变化过程中以A为极限? 记作 lim y?A? 说明? 例? 证明lim c?c(c为常数)? 证? 设y?c? 所以lim c?c? 对任意给定的? ?0? 恒有|y?c|?|c?c|?0?? ? 结论 “limc?c” 表示? 定义2?7(有界变量) 变量y在某一变化过程中? 如果存在正数M? 使变量y在某 一时刻之后? 恒有|y|?M? 则称y在那时刻之后为有界变量? 定理2?4 如果在某一变化过程中? 变量y有极限? 则变量y是有界变 量? 设lim y?A? 则对??1? 总有那么一个时刻? 在那个时刻 以后? 恒有|y?A|???1? 因为 |y|?|A?(y?A)|?|A|?|y?A|?|A|?1? 取M?|A|?1? 则在那个时刻以后? 恒有|y|?M? 所以变量y在那个 时刻之后是有界变量? 证? 定理说明:有极限的变量必为有界变量;但有界变量不一 定有极限.(p.62的例) 定义2?7(有界变量) 变量y在某一变化过程中? 如果存在正数M? 使变量y在某一时刻之后? 恒有|y|?M? 则称y在那时刻之后为有界变量? 定理2?4 如果在某一变化过程中? 变量y有极限? 则变量y是有界变量? 这个定理说明变量y在某一变化过程中有极限? 则变量y在某时刻后有界? 但变量在某一时刻后有界不一定有极限? 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件