高等计算流体力学讲义第二章可压缩流动的数值方法.pdf

高等计算流体力学讲义 （2） 有需要 DOC 格式的请下载后索取 第二章 可压缩流动的数值方法 §1. Euler 方程的基本理论 0 概述 在计算流体力学中，传统上，针对可压缩 Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分 别构造数值方法。其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单， 一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的 Euler 方程的解法。在推广到 Navier － Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler 方程是一种典型 的非线性守恒系统。下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论， 作为研究数值方法的基础。 1 非线性守恒系统和 Euler 方程 一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式 U F   0 ，x R,t  0 （1） t x 其中 U 称为守恒变量，是有 m 个分量的列向量，即U (u ,u ,...u )T 。F (f ,f ,...f )T 称 1 2 m 1 2 m 为通量函数，是 U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即： lim F (U) 0 U 0 即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。 守恒律的物理意义 设 U 的初始值为：U( x,0) U ( x), xR 。如果U ( x) 在x R 中有紧支集 （即U 在 0 0 0 有限区域以外恒为零），则 U( x, t) dx U ( x) dx 。即此时虽然U( x, t) 的分布可以随时 R R 0 间变化，但其总量保持守恒。 多维守恒律可以写为 U    (Fi  Gj  Hk ) 0 （2） t 守恒律的空间导数项可以写为散度形式。 守恒系统 （1）可以展开成所谓拟线性形式 1 U U  A(U) 0 （3 ） t x A 是m m 矩阵，称为系数矩阵或 Jacobi 矩阵，其具体形式为  f 1 f 1 f 1  u u ... u 