为变换后的顶点.ppt

Chapter 3. Transforms变换 变换可以用来改变物体的位置、形状；对物体、光源和摄像机设置动画等 用齐次坐标，4X4矩阵来表示 大部分图形API (Application Programming Interface)包含矩阵操作 基本变换 Translation transform Rotation transform Scaling transform Shearing transform Transform concatenation Rigid body transform Normal transform 平移变换 旋转变换 性质1：迹与旋转轴无关，都为 性质2：所有旋转矩阵为正交阵，多个旋转矩阵相乘仍为正交阵。 比例缩放变换 错切变换 Concatenation of Transforms 因矩阵相乘是不可交换的，所以矩阵的串连是与次序有关的 矩阵串连的好处：节约计算量，提高效率 复合矩阵为：C=TRS (对于column-major) 注：对于row-major，复合矩阵为C=SRT 刚体变换 只有物体的位置（平移变换）和朝向（旋转变换）发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚体变换 特点：保持长度和角度 Normal Transform(法向变换) 几何变换矩阵不能直接用于变换法向！ 假设变换几何的矩阵为M，则用于变换法向的矩阵为N＝(M-1)T 如果已知矩阵是正交的（只有旋转），则不需要计算机矩阵的逆：N＝(M-1)T＝M 平移不影响法向 若是刚体变换（保长的），采用法向变换的优点是可以避免法向的重新单位化 什么时候应用？ 如果三角形的顶点包含法向信息，则必须应用法向变换。 若法向是通过计算三角形边的叉积得到，则不需要。 逆矩阵的计算 如果矩阵由一个或多个简单变换复合而成，而且已知参数，则逆矩阵可通过“逆参数”和矩阵相乘次序来得到。例子：M=T(t)R(?)，则M-1= R(-?)T(-t) 如果矩阵已知是正交的，则M-1 ＝MT 如果未知任何信息：伴随矩阵法、Cramer法、LU分解法、Gauss消去法 Cramer法和伴随矩阵法具有较少的“if”分叉，应优先选用。在现代的体系结构中， “if”测试最好避免 特殊矩阵变换和操作 实时图形中非常重要的矩阵变换和操作1。Euler变换2。从一矩阵中抽取基本变换3。绕任意轴的旋转 Euler变换 Gimbal lock现象：当一个自由度丧失时。 当 时，矩阵只依赖一个角（r+h） 从Euler变换获取参数 特殊情况处理 当cos p = 0时，f01=f11=0，此时r = atan2(-f01,f11)无解。因cos p = 0时，故sin p = ±1, 可任意设定 h=0, 再得到 r = atan2(f10, f00) 由于p的值域为[-900,900]，如果p的值不在这个范围，原始参数无法求得。故求得的h、p、r不是唯一的。 矩阵分解 应用需求： 获取比例缩放因子 对于特殊系统，获取基本变换（如VRML采用Transform节点，不支持任意4X4矩阵） 决定一个变换是否刚体变换 当只有矩阵信息时，动画中关键帧插值问题 从一矩阵中剔除错切部分 平移获取很容易，rotation, scaling, shears获取较复杂 绕任意轴旋转 绕任意单位轴r旋转角度α是一个很有用的操作 思想: (1).由r构造一正交坐标系 (2).变换坐标系，使得r与x轴重合 (3).绕x轴旋转 (4).变换回去 正交坐标系的构造 Goldman提出的方法 四元数（Quaternion） 最早由Sir William Rowan Hamilton于1843年提出，从复数推广到四维空间 1985年，Shoemake把四元数引入计算机图形学 在表示旋转和朝向方面，优于Euler角。具有表示紧凑，朝向插值稳定的优点 数学背景 定义： q=(qv, qw)=(iqx+jqy+kqz+qw)= qv+qw , qv= (iqx+jqy+kqz)=(qx, qy, qz) , i2 = j2 = k2 =-1, jk=-kj=i, ki=-ik=j, ij=-ji=k qw为实部， qv称为虚部，i, j, k 称为虚轴 四元数乘： qr = (iqx+jqy+kqz+qw) (irx+jry+krz+rw) = i (qyrz-qzry+rwqx+qwrx) + j (qzrx-qxrz+rwqy+qwry) + k (qxry-qyrx+rwqz+qwrz) + qwrw-qxrx-qyry-