导数与微分 教育 人民网.doc

第四讲 不 定 积 分 Ⅰ.考试要求 1. 理解原函数的概念，理解不定积分的概念. 2. 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法与分部积分法. 3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分. Ⅱ. 考试内容 一. 原函数的概念 1. 定义：原函数 定义 如果, 则称是的原函数. 2. 存在性：连续函数有原函数. 推论 初等函数在有定义的区间上有原函数. 注：（1）原函数有无穷多. （2）任意两个原函数差一个常数. 二. 不定积分的的概念与性质 1. 定义：函数的全部原函数{}称为的不定积分, 记作. 注：（1）不定积分不是一个函数, 而是一个函数的集合. （2） 2. 性质 基本性质：, 或者 , 或者 运算性质：= 注：当积分号消失时加任意常数 三.基本公式 1., 2., 3. , 4., , 5., 6., 7., 8., 9.， 10.，11. , 12., 13.， 14. ，15.. 16. . 注：不能用初等函数表示的积分,,,. 四. 基本积分方法 1. 换元积分法： 2.常见换元公式 （1）,（2）, （3）,（4）, （5）, （6）, （7）, （8）， 令，令,； （9）， 令, . （10），令, 或, （11），令，其中，， （12），令 分母次数较高时，倒代换；， 3.分部积分法:. 注：反对幂三指 （1），， （2），， （3） Ⅲ．题型与例题 【例1】. 【例2】计算下列不定积分 【例3】计算不定积分. 【例4】求计算不定积分 【例5】 【例6】计算不定积分 【例7】求. 【例8】（11317）（本题满分10分） 求. 【例9】设，求 【例10】设函数有连续导函数, 且, 求 . 第五讲 定积分及其应用 Ⅰ.考试要求 1. 理解定积分的概念． 2. 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分． 4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式． 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分． 注： （1）数一、数二要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值． （2）数三要求：会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题． Ⅱ.考试内容 一、定积分的概念与性质 1. 定义 注：（1）积分与所用变量的符号无关. （2）规定：, . （3）几何意义 （4）设在上可积，则 特别地， ． 【例1】求和式极限（1） （2） （3） （4） 2. 可积的条件 （1）可积的必要条件：若在上可积，则在上有界． （2）可积的充分条件： 若在上连续或仅有有限个间断点，则在上可积； 3. 定积分的性质 假设各性质中所列出的定积分都是存在的． （1）． （2）． 注：分段函数的积分 （3）若在上，则． ． （4）设与分别是在上最大值与最小值，则 ． （5）积分中值定理：若在上连续，则存在，使得 . 注：① 可以在区间内部取到. ② 若在上连续，在上可积且定号,则，使得 . 【例2】 （11304）设,,,则,,的大小关系是[ ]． . . . . 【例3】 设函数在区间上可导, 且, 则存在 , 使得 二、奇偶函数与周期函数的积分性质 1. 若在上可积，则 ． 2. 若在上可积，则 ． 注：若为奇函数，则的原函数均为偶函数． 若为偶函数，则原函数中只有一个原函数是奇函数． 3. 设是以为周期的可积函数，则任意周期上的积分相等. ， ． 4. 设是以为周期的连续函数，则的原函数以为周期的充分必要条件是 ． 【例4】积分________． 【例5】设是连续函数的一个原函数，“”表示的充要条件是，则必有 [　　　　]． （A）是偶函数 (是奇函数． （B）是奇函数 (是偶函数． （C）是周期函数 (是周期函数． （D）是单调函数 (是单调函数． 【例6】设函数， （1）当为正整数，且时，证明：； （2）求. 三、计算定积分 1. 微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式）：若在上连续，是 在上的一个原函数，则 ． 2. 换元积分法与分部积分法 注：换元要换限 【例7】计算。 【例8】计算. 四、反常积分 1. 无穷区间的反常积分 （1）设在上连续，若极限存在，则称收敛， 记作 =，否则称发散； 若，则． （2）设在上连续，若极限存在，则称收敛， 记