数学建模车灯线光源的优化设计-2002年A题.doc

车灯线光源的优化设计 摘要 车灯作为汽车的一个重要部件，不仅影响车子造型的美观，而且是夜间行车时必要的照明工具。如何设计车灯线光源的长度，使它既能达到一定的照明效果又能充分地节约能源，是一个值得探讨的问题。 本文在满足给定设计规范的条件下，对车灯线光源的优化问题进行了分析研究。首先根据几何光学的反射定律，求出了线光源上任意点经过抛物面任意点反射所得光线的方程。其次利用所得直线方程，根据能量守恒推导出点光源的一条入射光的强度与测试屏上相应点的光强度的关系。对于固定的点光源和测试屏上的一点，利用反射方程可以确定有限个反射点，对这些点进行叠加，求出点光源经抛物面一次反射后在屏幕上某点所得的光强度。将线光源离散化成若干个点光源，用点光源的性质计算了线光源在屏幕上给定点B、C的光强度。以设计规范对B、C点光强度的要求为约束条件，线光源的最小功率为目标，利用数值计算方法计算出功率最小的线光源长度4.15毫米。用反射光线方程与测试屏方程，将反射光线在屏幕上的“照亮点”用点光源作标记反射点坐标表示出来（见式子（6））。用一定步长取遍线光源及反射点坐标，逐个计算相应的照亮点，就能得到线光源在测试屏上的反射光的亮区（见图3）。 在考虑反射光传播过程时，本文采用了曲面变换的雅克比行列式，描述了光束截面扩大的效应，简洁的得到了由于面镜对改变光的传播方向所引起的光强度的变化，另外，针对反射光的亮区图案作了定性分析。最后，在文末讨论了该规范设计的合理性，就B、C点位置特征的合理性进行分析，并对于二灯制前照灯设计规范惊醒了改进，以及近远光的考虑。 一问题重述 安装汽车头部的车灯的形状唯一旋转抛物面，车灯的对称轴水平的指向正前方。一种典型车灯的开口半径为69毫米，深度为21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向面对成的放置一根长度均匀分布的线光源（中心位于焦点），其每一个发光都相同。要求在某一设计规范标准下确定光源的长度，使其功率最小。 该规范如下：在焦点F正前方25米处的Ａ点竖直放置一测试屏，屏与连线ＦＡ垂直，用以测试车灯的反射光，在屏上过Ａ点引出一条水平的直线，在该直线上Ａ点的同侧取Ｂ点和Ｃ点，使得ＡＣ＝２．６米，ＡＢ＝１．６米。要求Ｃ点的光强度度不小于某一额定值（可取为１个单位），Ｂ点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。 　　　为了优化车灯光源的设计，使之既满足以上的设计规范又能够达到节能耐用的标准，现在要求如下问题： （１）在满足给定设计规范的条件下，计算线光源的长度，使线光源的功率最小。 （２）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上的反射光的亮区，得到一个直观的灯光照明效果的图像。 （３）讨论给定的设计规范的合理性，看它能否比较好的反映出车灯照明效果的好坏。 二、问题分析 以车灯抛物面定点为原点，抛物面的对称轴为坐标系的ｚ轴，车灯所对正前方为ｚ轴的正方向，建立空间直角坐标系。则根据抛物面开口半径为３６，深度为２１．６，可以求得车灯抛物面的方程如下： ｚ＝（） 其焦点坐标为Ｇ（０，０，１５），用Ｍａｔｌａｂ绘制出该抛物面的图形如下： 由给定的设计规范，整个“车灯－测试屏”的检测系统简化结构如下： 假设线光源的亮度是均匀分布的，可以认为它是由无数发光强度相同的点光源构成。设线光源长度为Ｌ，总发光功率为Ｐ，在线光源上任取一小段长为dl的线元，其功率为dp，则有： dp＝dl 将ｄｌ长的线光源看成一个功率为ｄｐ的点光源，求出每个点光源ｄｌ对Ｂ、Ｃ两点光亮度的贡献，然后把所有点光源的光强度贡献积分，就可以得出Ｂ 、Ｃ两点的总光强度。 三、模型假设 １．线光源亮度均匀，它的中心位于旋转抛物面的焦点，水平放置在焦平面上； ２．不考虑灯抛物面对光线的多次反射，只考虑一次反射。　 ３．设计规范中要求的Ｃ点的最小光强度为１； 四、模型的建立与求解 １．反射光线与测试屏交点坐标的确定 车灯抛物面焦点的坐标Ｇ（０，０，１５），线光源所在直线ν过G点且平行于ｘ轴，可以求出其直线方程为； 测试屏所在平面β与z轴垂直，求得其方程为： Z=25015 取B、C两点在A点的X轴正方向一侧，于是得到： B点坐标：（1300，0，25015） C点坐标：（2600，0，25015） 直线v与抛物面的交点为：（30，0，15）和（-30，0，15），所以线光源的最大长度为60毫米 设点光源上一点T（3t，0，15）发出的光线射到抛物面上某一点P0（x0，y0，z0），则入射光线Tp0的方程为 抛物面上点P0处的法线方程为 有P0 在抛物面上，故有： 60Z=x+y (1) 计T点关于法线的对称点为T（x1，y1，z1），则由线段TT 的中点 在法线上