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数理方法电子教案[必威体育精装版]
《数理方法》电子教案
课程考试试题样卷题型及分值分配
本课程考试试题主要参考书目为梁昆淼,《数学物理方法》。试题样卷题型及其分值分配见下表1:
表1:试题样卷题型及其分值分配
试题样卷题型
分值分配
单项选择题
共20小题,每题2分,共40分
填空题
共10小题,每题1分,共10分
计算题
共8小题,每题5分,共40分
综合题
共10分
知识点分布
课程知识点分布如下:
主要有两部分的内容:第一部分是复变函数论,第二部分是数学物理方程。
复变函数论
第一章:复变函数、复数及运算、区域;
第二章:复变函数的积分、柯西定理及公式;
第三章:幂级数展开,复数项级数和泰勒级数的展开;
第四章:留数定理,应用留数定理计算实变函数定积分;
第五章:傅里叶积分与傅里叶变换;
第六章:拉普拉斯变换;
数学物理方程
第七章:数学物理定解问题,数学物理方程的导出及分类;
第八章:分离变数法,非齐次振动方程和运输方程;
第九章:二阶常微分方程级数解法,特殊函数常微分方程,本征值问题;
第十章:球函数;
第十一章:柱函数,贝塞尔方程;
第十二章:格林函数,求解各种格林函数;
第十三章:积分变换法;
第十四章:保角变换法;
第十五章:近似方法简介。
课程重难点、要点
复变函数论
第一章:复变函数、复数及运算;
第二章:柯西定理及公式;
第三章:幂级数展开;
第四章:留数定理,应用留数定理计算实变函数定积分;
第五章:傅里叶积分与傅里叶变换;
第六章:拉普拉斯变换;
数学物理方程
第七章:数学物理方程的导出及分类;
第八章:分离变数法,非齐次振动方程和运输方程;
第九章:二阶常微分方程级数解法,特殊函数常微分方程,本征值问题;
第十章:球函数;
第十一章:柱函数,贝塞尔方程;
第十二章:格林函数,求解各种格林函数;
第十三章:积分变换法;
具体例题及分析
一、填空题:
1. 复数z=1+i 的指数表达式为( )
A. B. C. D.
B
2. 关于解析函数的概念,下列四个描述种错误的是( )
A.若函数f(z)在某点及其领域可导,则必在解析。
B.若函数f(z)在某点解析,则必在可导。
C.若函数f(z)在某点可导,则必在解析。
D.若函数f(z)在某区域上解析与在该区域可导是等价的。
C
3. 复变函数的路积分可归结为两个实变函数的线积分。下列表达式正确的是( )
A.=+
B.= +
C.=+
D.=
B
4. 以为中心的复变项幂级数,其收敛圆是以为圆心以R为半径的圆,关于该级数在圆域上的收敛情况及有关性质,下列论述中错误的是 ( )
A.幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛,在圆周上及圆外均发散。
B.幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意次。
C.幂级数在收敛圆内可以逐项积分。
D.幂级数的和函数是收敛的圆内的解析函数在收敛圆内不存在奇点。
A
5. 的复数形式的傅里叶积分表达式及傅里叶变换式,下列正确的是( )
A.=
B.=
C.=
D.
(表示傅里叶逆变换)
C
6. 关于不定积分的性质下列描述中错误的是( )
A. 是B上的解析函数. B.
C. D. 路积分完全不确定
D
7. 下面关于泰勒级数和罗朗级数的比较,其中正确的是( )
A. 当在以为中心的圆内解析,则可展为罗朗级数。在环域内解析时,可展为泰勒级数。
B. 罗朗级数的系数与泰勒级数系数完全一致。
C. 泰勒级数和罗朗级数的区别只是不含负幂项。
D. 当所研究的区域上无奇点时则可展为泰勒级数,有奇点时则可展为罗朗级数。级数的形式是唯一的。
B
二、填空题:
1. 以为中心的幂级数其和函数可表示为连续导数的回路积分,即 _________.
2. 在以为圆心的圆周内解析,可展开为=,其中系数=______.
3. 贝塞尔函数的级数表达式=( )。
4. v阶罗埃曼函数的表达式=( )(用贝塞尔函数表示)
三、计算题
1、 在=1的邻域上将函数展开为格朗级数.
解答:,
2、求矩形脉冲的复数形式的傅里叶变换。
解答:
3、 给贝塞尔方程的表达式及阶和阶贝塞尔函数的级数表达式,并用贝塞尔函数表示方程的通解。
解答:
用贝塞尔函数表示出贝塞尔方程的解为
4、求单个锯齿脉冲即的复数形式的傅里叶变换。
解答:
5、试给出球函数方程的表达式及分离变数后的解的表达式。(实数形式和复数形式)
解答:
6、试给出时,,,的渐进行为。
解答:
四、综合题
1、应用傅立叶变换法求解无限长弦的自由振动。
解答:
逆变
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