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（一）随机事件与样本空间 1．随机事件的涵义 （1）随机试验 随机试验：试验结果带偶然性，无法事先确定的试验。 需满足条件： 1）试验可在相同条件下进行； 2）每次试验结果可能不止一个，且会事先确定所有 可能的结果； 3）一次试验前，无法确定哪一个结果会出现。 例：三只灯泡，2只正品，1只次品，从中任取2只，研究正品情况。 2．随机事件的概率 ○ 描述随机事件发生可能性大小的数量指标，称为随机事件的概率。 （1）概率的统计定义 在一组不变的条件下， 重复做n次试验，事件A 发生的次数为μ，若 ，则称 p为事件A发生的概率。 （2）概率的古典定义 若一个随机试验 ①样本空间Ω含n 个（有限个）基本事件 ②每一基本事件发生的可能性相等，若事件A 包含其中 m 个基本事件，则 p (A) = ，称为事件A的概率（古典概率）。 （二）事件之间关系与运算 1．事件之间的关系 （1）包含关系： A ? B，或 B ? A （2）相等关系： A ? B，同时 B ? A，? A=B （3）对立关系： ， （4）互斥关系（互不相容事件）： A与B互斥，AB=φ ※ n个事件两两互斥。 例：打靶：定义A={8环以上}，B={不低于5环} （1）事件的和（或并）： A+B=A∪B ※ n个事件的和 （2）事件的积（或交）： AB=A∩B ※ n个事件的积 （3）事件的差： A-B 例：定义 A={3，5，6}，B={2，3，5，7} 3．事件运算性质 例：某设计运动员进行了3次射击， 设Ai={第i次击中目标}，理解： 二、古典概型 ◇ 古典概型概率的计算 ◇ 加法公式 ◇ 条件概率 ◇ 乘法公式 ◇ 全概率公式与贝叶斯公式 ◇ 独立事件 （一）古典概型概率的计算 排列、组合原理 排列数：从 n 个不同元素中任取出 m (m? n)个不同元素按一定顺序排成一列，能得到的所有排列的个数，称排列数，记为 。 组合数：从 n 个不同元素中任取 m (m ? n)个不同元素组成一组，可形成的组合个数称为组合数，记 。 排列组合分析 例：设甲乙2人每人投篮2次，命中率为70%，求甲投进次数超过乙的概率。 （3）分布律的性质 （4）概率分布表 一般，设离散型随机变量X的分布律 2．X为连续型随机变量时Y的概率密度 例：设X的概率密度函数是 f (x)=0.5 e-|x|， -?x+? （1）求分布函数F(x)； （2）求P(0X? 1) （3）Y=5X+1的概率密度函数。 解：F(x)=P(X?x)= 解：P(x1X?x2)= F(x2)- F(x1) 2．数学期望性质 3．随机变量的方差 1）离差：X－EX，E[X － EX]=0 2）方差：DX=E(X － EX)2=VarX 3）标准差： 4）方差的计算： 4．方差的性质 1）常数方差为0，即Dc=0； 2）D(aX)=a2DX； 3）D(aX+b)=a2DX 4）DX=E(X2)-(EX)2 5．指数分布 1）概率密度： 标准正态分布：X~N (0 , 1)：E(X)=0, DX=1 一般正态分布标准化 定理：设随机变量 X~N(? , ? 2)，令 （一）随机变量及其分布 1．随机变量概念 随机试验样本空间为?，如果对于每一个可能的结果?? ?，都惟一存在一个实数值X(?)与之对应，则称X(?)是一个随机变量，简记为X。 ? ?是一个基本事件（样本点） X是描述?的一个数 为更方便研究随机现象及其规律 常以X、Y、Z或?、?、? 表示随机变量 例：口袋中有6个球，上面分别标有1，2，2，3，3，4数字。 随机试验：从中任取一球，观察球上数字。 基本事件：ω=1、2、3、4 样本空间：Ω={1，2，3，4}。 随机变量：X (ω1) =1、 X (ω2) = 2、 X (ω3) = 3、 X (ω4) = 4 例：抛一枚硬币： ? ={出现正面?1 ，出现反面?2} 定义X(?1)=0， X(?2)=1 2．离散型随机变量的概率分布 （1）离散型随机变量：X的取值个数是有限或可列无穷多个的随机变量。 （2）概率函数 设X所有可能的取值为x1,x2,···，则概率 pk= P(X=xk)，k=1,2,··· 称为随机变量X的概率分布律，简称分布律，也称为X的概率函数。 例：研究一个灯泡的使用寿命时间X。 1） pk ?0， k=1,2,··· 2）? pk =1 p1 p2 ··· pk ··· pk