概率四章白底.ppt

第四章;第一节 数学期望; ; ;第一节 数学期望;例: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和 -4 元。厂家对每件产品可获利多少？;一、数学期望的概念;例1： 设X服从参数为p的（0-1）分布，求 E ( X )。;例3： 设X~b(n，p)，求 E(X)。;;;例5：设 X 的密度函数如下，求 E(X);例6 设X~U(a，b)，求 E(X)。;;; 1. 问题的提出：; 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.;定理1: 设 Y 是随机变量 X 的函数，即Y=g(X), g(x)是连续函数。;设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定理的条件。则由定理的结论知Y的概率密度为;推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即 Z=g(X, Y) （ g(x,y)是连续函数 ）; 该定理的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道 g(X) 的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便. 即：如求连续型随机变量函数的数学期望并不要求知道其密度函数，只需知道作为自变量的随机变量的密度函数即可。;例9：设 X ~ N (0,1)，求 E(X2);例10： 设圆的直径 X～U(a,b)，求圆的面积的期望。;定理2： 设随机变量X,Y的数学期望 E(X), E(Y)存在.;（诸Xi独立时）;例11：将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随机匹配，记 X 表示匹配成对数，求 E(X)。;类似有：把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.;例12：一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出，旅客可以有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求 E( X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设个旅客是否下车相互独立);在第ｉ次有人下车;;例13 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，假定游戏的规则不公正，以致两人获胜的概率不等，甲为p,乙为q，pq, p+q=1.为了补偿乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为 a, 乙为b, ab. 现在的问题是：a究竟应比b大多少，才能做到公正？;解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y，; 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：; 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.; 方差是随机变量X与其“中心”E(X)的偏差平方的平均。方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散(偏离)程度 .;;计算方差的一个简化公式;;方差的性质;;可推广为：若 X1, X2, …, Xn 相互独立,则;例：设一次试验中事件 A 发生的概率为ｐ，则在ｎ次这样的独立重复试验中事件 A 发生的次数 X～B(ｎ,ｐ)， 求 E ( X ) ，D( X ).;又 E ( Xi ) = p , E ( Xi 2) = p (1≤ i≤ n);几种重要随机变量的方差;;;;;; 注：正态随机变量的概率密度中的两个参数u, σ2分别就是该随机变量的数学期望和方差，故正态随机变量的分布完全由它的数学期望和方差所确定。;例2 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 且 X ~ N(1,2), Y~N(0,1). 试求 Z=2X-Y+3 的概率密度.;故Z的概率密度是; 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本节要讨论的;的相关系数;若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…;特别地： Cov (X, X)=E{[X-E(X)] [X-E(X)]}=D(X) Cov (Y, Y)=E{[Y-E(Y)] [Y-E (Y )] }=D(Y); Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) ;例1 设 (X, Y)的分布律如图所示, 0 p 1, 求 Cov(X,Y)和ρXY;例2 设 (X, Y)的概率密度函数为 f ( x, y) ,求 Cov(X,Y).;; 注意1：性质（１）的等价说法是若 Cov(X,Y) 不等于零，则X与Y不独立