lxy理论力学教程(第六章).ppt

1 例1 图示为一对外啮合的圆柱齿轮，分别绕固定轴O1和O2转动，两齿轮的节圆半径分别为r1和r2。已知某瞬时主动轮Ⅰ的角速度为ω1 ，角加速度为α1，试求该瞬时从动轮Ⅱ 的角速度ω2和角加速度α2 。为简便起见，本例的ω1 ， ω2 ， α1 ， α2都代表绝对值。 Ⅰ Ⅱ O1 O2 M1 M2 ω1 ω2 α1 α2 r2 r1 例题 2-3 Ⅰ Ⅱ O1 O2 M1 M2 ω1 ω2 α1 α2 r2 r1 齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动，因而两轮的啮合点M1与M2恒具有相同的速度与切向加速度。即 v1 v2 a2t a1t 或 因而从动轮的角速度和角加速度分别为 显然， ω2 ，α2的转向分别与ω1 , α1相反。 传动比为 解： 例2 如图a，b分别表示一对外啮合和内啮合的圆柱齿轮。已知齿轮Ⅰ的角速度是ω1 ，角加速度是α1，试求齿轮Ⅱ的角速度ω2和角加速度α2 。齿轮Ⅰ和Ⅱ的节圆半径分别是R1和R2，齿数分别是z1和z2。 Ⅰ Ⅱ O1 O2 Ⅰ Ⅱ O1 O2 （a） （b） （b） 　 设A，B是齿轮Ⅰ，Ⅱ节圆上相啮合的点。 但 Ⅰ Ⅱ O1 O2 （a） vA vB A B vA vB A α1 α2 ω2 ω1 ω1 ω2 故得 　　在这两啮合点间无相对滑动，因而它们具有相等的速度大小，同样也具有相等的切向加速度。于是有 解： 转向分别如图所示。 Ⅰ Ⅱ O1 O2 B A 沿刚体的转轴z画出一个矢量ω=ωk （其中k为轴z的单位矢），ω称为刚体的角速度矢。 ? 角速度矢 定轴转动刚体的角速度矢ω被认为是滑动矢量，可以从转轴上的任一点画出。 它的作用线表示出转轴的位置，而它的模则以某一比例表示出角速度ω的绝对值。ω的指向由右手规定决定。 1. 用矢量表示角速度与角加速度 §6-5 角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢量表示 同样，可以用矢量α=αk 表示刚体的角加速度，它也是滑动矢量，沿转轴z画出。它的大小表示角加速度的模，它的指向则决定于α的正负。 ? 角加速度矢 α α 定轴转动刚体内任一点M的速度v 的大小为 。由于 ，因而 根据矢积的定义，矢积ω×r 的模也等于 ，它的方向也与速度v的方向一致，故有矢积表达式 θ 定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。 2. 用矢积表示刚体上点的速度 将上式左右两边对时间求矢导数。左端的导数为点M的加速度，而右端的导数为 式中第一个矢积α×r的模为 O1 3. 用矢积表示刚体上点的加速度 速度的矢积表达式 逐项分析 这矢积垂直由转轴z和转动半径O1M决定的平面 OO1M，它的指向与图中自点O 画出的矢量一致。可见，矢积α×r 按大小和方向都与点M的切向加速度at相同。 故有矢积表达式 O1 这矢积同时垂直于刚体的转轴和点M的速度v，即沿点M的转动半径R，并且按照右手规则它是由点M指向轴心O1。可见，矢积ω×v 表示了点M的法向加速度an ，即有矢积表达式 第二个矢积ω×v 模为 O1 于是，得点M的总加速度的矢积表达式 定轴转动刚体内任一点的切向加速度，可由刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积表示，而法向（向心）加速度，则由刚体的角速度矢与该点速度的矢积表示。 4、v,a的矢积表示小结 例4 刚体以角速度ω绕定轴Oz转动，其上固连有动坐标系Oxyz（如图），试求由O点画出的动系轴向单位矢i，j，k 端点A，B，C的速度。 z x z y i′ j′ k′ A B C O ω 例题 2-5 先求端点 A 的速度。设 A 点的矢径为rA ，则A点的速度为 A点是定轴转动刚体内的一点，由式有 可见 ，但这里有 故 解： z x z y i′ j′ k′ A B C O ω ， 同理可得 vB 和 vC 的矢量表达式。 于是得到一组公式 它称为泊松公式。 z x z y i′ j′ k′ A B C O ω 一.基本概念和基本运动规律及基本公式 1. 基本概念：直线运动,曲线运动 (点) ; 平动,定轴转动 (刚体)。 2. 基本运动规律与公式: 第六章 点的运动学, 第七章 刚体的基本运动 刚体定轴转动 转动方程: 角速度: 角加速度: 匀速转动: 匀变速运动: 二.解题步骤及注意问题