第8章极坐标2.ppt

弹 性 力 学 * 弹性力学 蒋 玉 川 2007.5.17 第5章 弹性力学问题的解法 第6章 柱体的扭转 第7章 平面问题直角坐标解 第8章 平面问题极坐标解 第9章 能量原理及其变分法 轴对称问题的工程实例 实例1：厚壁圆筒 一般应力解答 边界条件要求： 前两个条件自然满足，而后两个条件要求 (8.20) 现在边界条件都以用完，但两个方程不能决定三个常数A、B、C。 因为圆环是多连体，考察位移单值条件。 环向位移v的表达式中有一项 要求： 则由(8.20)式求得： 代入式(8.17)可得， (8.22) 注意： 为常数项 处处相等，整个圆筒横截面将沿筒轴方向发生均匀伸长或缩短，从而使横截面变形后保持为平面。 将(8.21)式代入(8.18)并略去刚性位移得厚壁筒的位移表达式 即沿筒壁厚度上 (8.23) (-) (-) 仅受外压作用 由式(8.23)得： (8.25) 可见， 总为压应力， 总为拉应力，最大拉应力、压应力均发生在内壁处，其值分别为: (+) (-) 仅受内压作用 (8.26) 其位移由式(8.23)简化可得 (8.27) 3. 在只有内压时，且圆筒的外半径 趋于无限大时，成为圆形孔道的无限大弹性体(如无衬砌的压力隧洞)，式(8.26)成为 (8.28) 解：由式(8.26)可得 如图8-5中虚线所示，由此可见，内壁处的环向应力过大。通常采用组合筒来改善其应力分布。 例8-1 有一内半径a=0.1m，外半径b=0.2m的圆筒承受内压 ， 试确定此圆筒的内外表面上和壁厚中间处的环向应力。 57.2 o 350 269.9 273.9 194.4 136.6 -80.1 -57.9 79.5 4. 组合筒由内外筒两部分组成(图8-5)，外筒的内半径略小于内筒的外半径，并预先将外筒加热使其膨胀，然后装配而成，冷却后在内外筒之间产生了接触压力，称之为冷缩配合应力。 设内圆筒的外半径受力前比外圆筒的内半径大 , 于是装配后产生了接触压力q, 的大小可由外圆筒内半径的增量与内圆筒外半径的减量之和等于 这一条件，因此，由式(8.25)和(8.27)得 从而得： (8.29) 例8-2 图8-5所示组合筒的钢材料的弹性模量， ， 内压 ， , 试确定筒内的环向应力。 解：内外圆筒之间的接触应力可由式(8.29)得 由式(8.29)可得内圆筒由此压力引起的环向预应力， 由式(8-14)可得外圆筒中的环向预应力 o 350 269.9 273.9 194.4 136.6 -80.1 -57.9 79.5 57.2 图8-5 环向预应力沿筒壁厚度的分布，在图8-5b中用虚线mn和m’n’表示。内压产生的应力与例8-1相同，在图8-5b中用虚线S-S’表示。实际的环向应力由上两部分叠加而成，在图8-5b中用实线表示。 §8-4 圆孔孔边的应力集中 设受力的弹形体具有小孔，则孔边的应力将远大于无孔时的应力以及距孔边较远处的应力，这种现象称为孔边应力集中。孔边应力集中是局部现象。在几倍于孔径以外，应力几乎不受孔的影响，应力的分布情况以及数值的大小都几乎与无孔时相同。一般说来，应力集中的程度越高，集中的现象越是局部性的，也就是，应力随着距孔的距离增大而更快地趋于无孔时的应力。另外，应力集中的程度与孔的形状有关。一般说来，圆孔孔边的应力集中程度最低。因此，如果有必要在构件中挖孔或留孔，也应尽可能留圆孔。 图8-6所示一矩形薄板受均匀拉伸作用，板中有一圆孔，孔径为2a，板厚为1。坐标原点取在圆孔中心，坐标平行于边界。 为此作如下等代变换，以圆点0为圆心，以远大于a的某一长度为半径作一大圆。根据应力集中的局部性，在大圆的周边上任意一点A处的应力与无孔时相同，即， ， 应用坐标变换公式，可得A点的极坐标分量 (8.30) 于是矩形板变成了内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒的一个截面。又称为等代变换。 第一部分是外壁受均匀拉力 ，其解答由式(8.24)确定。 第二部分是外壁上法向应力 和切向应力 。 (1)、用半逆解法. 可以假设 为r的某一函数乘以 ， 而为r的另一函数乘以 。且 因此