二次函数知识.doc

二次函数知识点 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念（是常数，）的函数，叫二次函数。 注：①和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零；②的取值范围是全体实数。 2、二次函数的结构特征： ①等号左边是函数，右边是关于自变量的二次代数式，的最高次数是2。 ②是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 二、二次函数的基本形式 1、二次函数基本形式：的性质：的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 2、的性质：上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 3、的性质：的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 =h 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 =h 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 4、的性质的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 =h 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 =h 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 三、二次函数解析式的表示方法 1、一般式：（，，为常数，）； 2、顶点式：（，，为常数，）； 3、两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）。 注意：①二次函数解析式的这三种形式可以互化； ②任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。 ③二次函数顶点式（）与一般式（）的比较： 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中。 四、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况： 1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 五、二次函数图象的平移 1、平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2、平移规律 在原有函数的基础上值正右移，负左移；值正上移，负下移本身加减），上加下减（本身加减）”。 六、画二次函数的图象 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标。 画草图时应抓住以下几点：①开口方向，②对称轴，③顶点，④与轴的交点，⑤与轴的交点. 七、二次函数的性质 对称轴 顶点坐标 与y轴交点 ， 图象与轴交于两点， 是一元二次方程的两根这两点间的距离 韦达定理： ， 图象与轴只有一个交点，0） 图象与轴没有交点符号 的判定 对称轴在轴左边则 对称轴在轴的右侧则 概括的说就是“左同右异” 符号 的判定 ①决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小； ②在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置； ③决定了抛物线与轴交点的位置； ④只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。 符号 抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正 抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为 抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 符号 开口方向 上 下 || 的值越大，开口越小； 的值越小，开口越大； 的值越小，开口越小； 的值越大，开口越大。 图像性质 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，有最小值。 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，有最大值。 左↓右↑ 左↑右↓ 符号 对称轴 在轴左侧 就是轴 在轴的右侧 在轴右侧 就是轴 在轴的左侧 八、 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 -