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初三圆与函数
初三圆与函数
1.(10分)28.(2010青海,28, 11分) 如图10,已知点A(3,0),以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作⊙A的切线l.
(1)以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作⊙A的切线DE,E为切点,求此切线长;
(3)点F是切线DE上的一个动点,当△BFD与EAD△相似时,求出BF的长 .
【分析】(1)设顶点式,把A、C代入求出(2)见切点时,常做过切点的半径构造直角三角形(3)由相似得到对应线段成比例,从而求出BF的长.
【答案】
解:(1)设抛物线的解析式为
∵抛物线经过点A(3,0)和C(0,9)
∴
解得:
∴
(2)连接AE
∵DE是⊙A的切线,∴∠AED=90°,AE=3
∵直线l是抛物线的对称轴,点A,D是抛物线与x轴的交点
∴AB=BD=3
∴AD=6
在Rt△ADE中,
∴
(3)当BF⊥ED时
∵∠AED=∠BFD=90°
∠ADE=∠BDF
∴△AED∽△BFD
∴
即
∴
当FB⊥AD时
∵∠AED=∠FBD=90°
∠ADE=∠FDB
∴△AED∽△FBD
∴
即
∴BF的长为或.
【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理2. (12分)一条抛物线经过点与.
(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;
(2)现有一半径为1、圆心在抛物线上运动的动圆,当与坐标轴相切时,求圆心的坐标;
(3)能与两坐标轴都相切吗?如果不能,试通过上下平移抛物线使与两坐标轴都相切(要说明平移方法).
2. 本小题满分12分
(1)∵ 抛物线过两点,
∴ 1分
解得 2分
∴ 抛物线的解析式是,顶点坐标为. 3分
(2)设点的坐标为,
当与轴相切时,有,∴. 5分
由,得;
由,得.
此时,点的坐标为. 6分
当与轴相切时,有,∴ . 7分
由,得,解得;
由,得,解得.
此时,点的坐标为,. 9分
综上所述,圆心的坐标为:,,.
注:不写最后一步不扣分.
(3) 由(2)知,不能. 10分
设抛物线上下平移后的解析式为,
若能与两坐标轴都相切,则,
即x0=y0=1;或x0=y0=-1;或x0=1,y0=-1;或x0=-1,y0=1. 11分
取x0=y0=1,代入,得h=1.
∴ 只需将向上平移1个单位,就可使与两坐标轴都相切.
12分
,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.
3.(1)解:设抛物线为.
∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.
∴抛物线为. (2) 答:与⊙相交. 证明:当时,,.
∴为(2,0),为(6,0).∴.
设⊙与相切于点,连接,则.
∵,∴.
又∵∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分
∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交.
(3) 解:过点作平行于轴的直线交于点.求的解析式为.
设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).
∴.
∵,
∴当时,的面积最大为.
此时,点的坐标为(3,).
4.(本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;
(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
4. (本小题满分12分)经过点,,.
∴, 解得.
∴抛物线的解析式为:. …………………………3分.把x=4代入y=2x得y=8,∴点D的坐标为(4,8).
∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8. …………………………4分.
∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°. …………………………6分. …………………………7分.
∴,解得.∴直线AC的解析式为:. ………8分,PG交直线AC于N,
则点N坐标为.∵.
∴①若PN︰GN=1︰2,则
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