全国大学生数学竞赛练习题(解析).doc

9月11日练习题（解析） 1 设在上二阶可导，且，求证：使得 解 令，则连续，由于，故，使 故，因此，使 即 故 2 设在上连续，，考虑积分，证明： （1）存在，使 （2）存在，使 证明（1）利用广义积分中值定理，，使 因此 （2）因为在上连续，故在上连续，由（1）. ，使 根据积分中值定理，，使 故.因此根据介值定理，在与之间存在，使 3（1）设，若，试证明在球坐标下仅为的函数； （2）设，若，试证明仅为的函数，其中 证明 （1）由于 （2）由于 故仅为的函数 4 求的值 解设分子为，分母为，则有 故原式= 5 雨水从屋檐上滴入下面的一圆柱形水桶中，当下雨停止时，桶中雨水以与水深的平方根成正比的概率向桶外渗漏，如果水面高度在1h内由开始的90cm减少至88cm，问需要多少时间桶内的水全部渗漏掉 解设时刻水面高度为，水桶半径为常数，水桶内水的体积为，由题意 即 （记） 解得 由，得 由，得 故有 令，得 故约89.5h桶内的水全部渗漏掉 6 证明： 证明 7 设是给定的正数，求 解设 由于 而 得 故 8 求曲线与轴所围成的图形的面积 解 9 一飞机在离地面2km的高度，以200km/h的速度飞临某目标的上空以便进行航空摄影，试求飞机飞至该目标上方时摄像机转动的速度 如图选取坐标系，其中目标取为坐标原点.记飞机与 目标的水平距离为，摄像机角度为， 则有 ，，两边对求导 将代入得 10 设是上递减的连续函数，且，证明：数列收敛，其中 解：由题设有 即单调减少，又 即有下界，故收敛。 11设在上有定义，在的某个邻域内有一阶连续的导数，且证明收敛 解：发散， 故发散。由于， 有 由于连续，故在的某邻域内 ，单调增加，故当充分大时，单调减少，又 故收敛。 12 一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停的下，一台扫雪机，从上午8点开始在公路上扫雪，到9点前进了2千米，到10点前进了3千米，假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪？ 解：设时开始下雪，T为开始下雪到扫雪机开始工作的时间，为时刻扫雪机前进的距离，下雪速度为常数A，公路宽度为常数，则时刻积雪的厚度为，由于每小时扫去的积雪体积为常数，故扫雪机前进的速度与积雪厚度成反比，即 其中 解得，由题设有 得到 故有 7时22分55秒 雪从上午7时22分55秒开始下的 13 设在闭区间上有连续的导数，且，当时，，证明： 解答：在闭区间上连续，故在存在最大值M，且由于 使得， 14 设函数在区间上连续，且满足方程 ，且，求 解：当，由已知条件有 两边对求导 即 令，得，故 15 设是在二阶可导函数，试求方程 的解 解 在已知方程中令，得 在已知方程两边对求偏导 两边对求偏导 令，，得 当时，取一点，使，令有 解得 由得 当时，；当时，；当时， 故 16 判别下列级数的敛散性 解 由 ，有 = 故 ，故收敛，因此收敛 （2）当，故 ，即 因为，故发散，因此发散 （3）当，由于故 又由于发散，故发散 当，取使，当充分大时 ，由于收敛，故收敛 17 级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？ 解 （当） 单调减少且，故级数收敛 由于 由于发散，故发散，因此级数条件收敛 18 讨论级数的敛散性，其中是方程的正根按递增顺序编号而得的序列 解 令 等号仅在时成立，故单调减少，又 故在有唯一的根，且 故，由于收敛，故收敛 19 证明级数是发散的 证 由于单调增加并以为极限，故有 即 以上各式相乘得 级数的一般项不以零为极限，故该级数发散。