§7-2简谐振动的叠加.ppt

* 例2 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。 P 2.0 -2.0 x/cm t/s -4.0 4.0 1 O 解 由图知 A = 4.0×10?2 m 当t =0 时， 由式 x0 = A cos ? v0 = ?A? sin ? 解得 所以 m 又由曲线知 当 t =1s 时,x =0,代入上式得 m 所以 因 即 简谐振动的表达式为 四、简谐振动的能量 以弹簧振子为例 x = A cos (? t+?) v = ?A? sin (? t+?) 由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。 总能量 因为 所以 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。 由公式 得 此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在最大位移处，x = ? A, 速度为零。 例3 长为l 的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度?，由静止释放, 物体就在平衡位置附近往返摆动, 称为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。 h O A θ mgsinθ mgcosθ 解 物体受 和 两个力作用 根据牛顿第二定律得 当偏角? 很小时， sin? ?? 所以 即 其中 解微分方程得 ? = ? 0 cos (? t+?) 说明了在偏角θ很小时, 单摆的振动是简谐振动。 单摆系统的机械能包括两部分： 动能 势能 Ep = m g h = m g l (1—cos? ) 将cos? 展开 因为? 很小，上式只取前两项， 所以 因为 所以 上式表示, 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。 总能量 ) ) φ2 A1 A2 φ1 x y O x2 x1 §7-2 简谐振动的叠加 一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的谐振动 合振动 由矢量图得 （仍为同频率谐振动） x φ ) A 而 讨论：1. 2. 合振幅减小，振动减弱 合振幅最大，振动加强 3. 一般情况下 为任意值 A v 2 A v 1 A v 2 A v 二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两谐振动分别为 合振动 合振动不再是谐振动， 而是一种复杂振动 矢量图解法（如图） 由矢量图得合振动的振幅为 由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异 而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同 合振动为 拍频的振幅为 振幅的周期为 拍频为 拍的振动曲线如右图 三、两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为 （1） （2） 以cos?乘以(3)式，cos?乘以(4)式，再两式相减得 改写为 （3） （4） （5） 以sin?乘以(3)式，sin?乘以(4)式后两式相减得 (5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 （6） 此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（β－α）。 x A o -A -B B a b y 讨论： 1. ??? ? 0 或 ? 时 即 合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示。 ??? ? 0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A； ??? ? ? 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。 合振动的振幅 2. 当 时 合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。 β?? = ?/2 时， 合振动沿顺时针方向进行； β?? = ??/2 时， 合振动沿逆时针方向进行。 若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。 x A B O y -A -B x A A -A -A y O 3. 如果(???)不为上述数值，那么合振动的轨迹为处于边长分别为2A(x方向)和2B(y方向)的矩形范围内的任意确定的椭圆。 两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，这样的合振动曲线称为利萨如图形。 不同频率的垂直振动运动的合成。 *