线性代数期末试题(2007-2008).doc

线性代数期末试题(A) 2007-2008 一、选择题（每小题3分，共15分） 1. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是___________ 2.设A,B都是3阶方阵，且|A|=1,|B|=2，则_________ 3.设矩阵A与相似，，则|B|=_________ 4.二次型的秩为__________ 5.设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使得，其中是以_____________________为对角元素的对角阵. 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 向量组(I)线性无关的充要条件是( ) (A) 存在不全为零的数，使得 (B) (I)中任何个向量都线性无关 (C) (I)中有一个向量不能由其余向量线性表示 (D) (I)中任何向量都不能由其余向量线性表示 2. n阶方阵A的各行元素之和为，下列中( )不成立 (A) 是A的特征值 (B) 有列向量，满足 (C) (D) 以上不全对 3. 设A为n阶方阵，秩是的两个不同解，则的通解为( ) (A) (B) (C) (D) 4. 已知A,B均为n阶矩阵，满足AB=0，若，则B的秩满足( ) (A) (B) (C) (D) 5. 设A为矩阵，，且则( ) (A) 非齐次线性方程组无解 (B) 非齐次线性方程组一定有无穷多个解 (C) 非齐次线性方程组有唯一解 (D) 存在m阶可逆矩阵，使得 三、计算题（每小题10分，共30分） 1. 计算行列式. 2. 设A,B均为3阶方阵，E为3阶单位矩阵，且有：ABA=2A+BA，其中，求矩阵B. 3. 设有向量组，求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示. 四、解答题（每小题12分，共24分） 1. 设方程组，试问：（1）k取什么值时，方程组有唯一解、无穷多个解、无解；（2）有无穷多个解时，求出通解；（3）方程组有唯一解时，求出唯一解. 2. 设，（1）写出二次型的矩阵；（2）用正交变换将二次型化为标准型；（3）问该二次型是否正定？ 五、证明题（每小题8分，共16分） 1. 设n阶矩阵A满足，其中E为n阶单位矩阵，证明：A的伴随矩阵A*满足： . 2. 已知线性无关，设有向量组 ，. 证明：向量组L线性无关的充要条件是：