抛物线焦点弦的一组性质与高考题.doc

抛物线焦点弦的一组性质与高考题 过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段叫抛物线的焦点弦.与此相关的问题在普通高中教科书（实验修订本·必修）第二册（上）（以下简称教科书）中较为频繁，高考中也经常考查，经归纳总结得： 性质 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、 B（x2，y2）两点，O为坐标原点，过点A作直线AA1垂直于准线L于点A1，过点B作直线BB1垂直于准线L于点B1，则 x1·x2=； y1·y2= - p2；（教科书P119习题8.5第7题） kOA·kOB= - 4； 焦点弦：|AB|=x1+x2+p；（教科书P118例3） 最短焦点弦：特别地，当AB垂直于x轴时，|AB|=2p， 即为通径；（教科书P121） ； 以弦AB为直径的圆与准线L相切于线段A1B1的中点M，即∠AMB=90°； 以线段A1B1为直径的圆与直线AB相切于焦点F，即 ∠A1FB1=90°； （教科书P133复习参考题八（B组）第2题） 设直线OA交准线L于点C，则BC∥x轴；（教科书P123习题8.6第6题） 设直线AB的倾斜角为α，则SΔAOB = ； 当AB垂直于x轴时，过抛物线上任一点P作PQ垂直于x轴于点Q，则 |PQ|2=|OQ|·|AB|； （教科书P133复习参考题八（A组）第15题） 与上述性质类似或相关的高考题 （1995年全国高考试题）直线L过抛物线y2=a（x+1）（a＞0）的焦点，并且与x轴垂直，若L被抛物线截得的线段长为4，则a=——————； 略解：由性质4知 a=4. （2000年全国高考试题）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ） A．2a B. C. 4a D. 略解：由性质5知，选（C）. （2001年全国高考试题）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴. 证明直线AC经过原点O. 注:本题是性质8的逆命题. 解题思路：本题的解法很多，采用坐标方法进行代数推理，可以证明直线OA与直线OC的斜率相等，证明|AO|+|OC|=|AC|，证明直线OC与直线BF的交点A在抛物线上，证明直线AC的方程形如y=φ（p）x，等等.每种证明又有不同的表述形式，甚至可以用极坐标法或参数方程法,采用平面几何方法进行推理,主要是运用抛物线的几何性质,可以有同一法、对顶角法、面积法等等.选用什么样的解题途径,体现出考生的知识基础、思维水平和表现技巧. 证法1 如上图所示, 因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为 x=my+，代入抛物线方程得 y2-2pmy-p2=0， 若记A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2=-p2 . 因为BC∥x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为（-，y2 ）， 故直线CO的斜率为 . 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O. 证法2 设A（x1，y1），B（x2，y2）,因为BC∥x轴，所以C（-，y2 ）. 因为A、B在抛物线上，所以 y12=2px1 ,y22=2px2 . 又因为直线AB过焦点F，所以 kAF=kBF , 即 , 所以 即 y1y2（y2-y1）=p2（y1-y2） .因为y1≠y2，所以 y1y2=-p2 . 因为 kOC= 所以直线AC经过原点O. 证法3 同证法1 得 y1y2=-p2. 因为A（，y1），C（-，y2），即C（-，）， 所以直线AC方程为 , 化简得 y=. 显然，原点O(0,0)适合此方程，所以原点O在直线AC上. （1987年广东省高考题）直线L过抛物线y2=2px（p＞0） 的焦点，且与这抛物线相交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点， 求证：4x1x2=p2； 求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线L不是CD的垂直平分线.. ① 证明：抛物线y2=2px的焦点为F （，0）， 若过点F的直线L⊥x轴，则直线L的方程为x=， x1=x2=，4x1x2=p2. 若过点F的直线不垂直于x轴，则可设L的方程为y=k（x-），代入抛物线方程y2=2px得 x2-p（1+）x+ =0 , 由韦达定理得 x1x2= , 即4xx=p2. 证法（一） 分两种情况讨论： （ⅰ）当直线L⊥x轴时，由于C和D在抛物线y2=2px上，所以直线CD与x轴