向量的分解与坐标运算.doc

§5.2向量的分解与坐标运算 【考纲解读】1.了解平面向量的基本定理及其意义。 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法、与数乘运算。 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 【知识梳理】 1.平面向量基本定理：如果和是平面内的两个不平行的向量，那么该平面内任一向量，存在唯一的一对实数，，使 ，把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组 ，记为 ， 把 叫做向量关于基底{，}的分解式。 2.如果基底的两个向量，互相垂直，则称这个基底为 ，在正交基底下分解向量，叫做 。 3.设{，}为平面直角坐标系内的正交基底，由平面向量基本定理，对于平面上的一个向量，有且只有一对实数，，使得=+。我们把有序数对（，）叫做向量 ，记作 ， 叫在轴上的坐标， 叫在轴上的坐标。把 叫做向量的坐标表示。 4.向量的直角坐标运算：设=（，），=（，）则+= ，-= ，= 。 5.向量共线：设=（，），=（，），向量∥ 6.直线的向量参数方程式：已知A、B是直线上任意两点，O是外一点，对直线上任一点P，存在实数t，使关于基底{，}的分解式为： （），并且满足（）式的点P一定在上，我们把（）式叫做直线 的向量参数方程式；当t=时，点P是AB的中点，则 上式称为线段AB的中点的向量表达式。 【基础自测】 1.下列各组向量中能作为基底的是 （ ） A． =（0，0）、=（2，-1） B. =（-2，1）、=（5，7） C． =（5，3）、=（10，6） D. =（2，-3）、=（，） 2.已知，是两个不共线的向量，，与共线或与共线的充要条件是 （ ） A． =0 B. =0 C. =0 D. =0 3. 设非零向量不共线，且与共线，则k的值是（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 4.已知向量=（1，-3），=（2，-1），，若点A、B、C能构成三角形，则实数应满足的条件是 （ ） A．-2 B. C. 1 D. -1 5.已知向量=（-2，5）的起点为（1，2），则它的终点坐标为 。 6. 已知轴的正方向与的方向的夹角为60o，且=4，则的坐标为 。 【精讲点拨】 例1.如图：已知=，=，，求证：存在不全为零的实数，当=,且=0时，A，B，C三点共线 例2.平面内给定三个向量 =（3，2），=（-1，2），=（4，1）。则： ①求满足= m+ n的实数m，n的值；②若（+k）∥（2-），求实数k；③设=（x，y）满足（-）∥（+）且|-|=1，求。 例3.在⊿ABC中，，，AD与BC交于点M，设=，=，以{} 为基底表示 例4.已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若，试求λ为何值时，点P在第三象限内？ 【能力提升】 1．下列命题：（1）若则；（2）若为单位向量，与平行，则=；（3）设=+（），则与共线时，与也共线。其中真命题有 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若=(2,3), =(4,-1+y)，且∥，则y = （ ） A. 6 B.5 C.7 D.8 3. 若=+2, =(3-x) +(4-y) (其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ） A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中，且=1，则点C的轨迹方程为（ ） A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 5．成立的充要条件是 6．，是两不共线的向量，且= 2 + k，= + 3，= 2- ，若A，B，D三点共线，则k=_____________。 7．（2009广东理）若平面向量, 满足=1，平行于轴， =(2,-1)则=