第一学期线性代数复习知识点及练习题.doc

2008-2009学年第一学期《线性代数》复习知识点和练习题 一、行列式 1．行列式：性质,计算,展开式 例1．设,则 ; 例2．若,则 ; 例3．已知四阶行列式中第三列元素依次为,它们的余子式依次分别为,则 ; 例4．计算四阶行列式. 二、矩阵 1．矩阵的运算：加法,数乘,乘法,转置 2．矩阵的逆：定义,求逆 3．矩阵的初等变换：行阶梯形矩阵,行最简形矩阵 4．矩阵的秩：定义,用初等行变换求秩 例1．设,,则 ; ; 例2．已知,则______;______;______;______; 例3．已知为三阶方阵,且,则______;______;______; 例4．若方阵满足,则_____;______; 例5．设,则______; 例6．设为矩阵且,,则______; 例7．设,求; 例8．求矩阵使. 三、向量 1．向量的线性运算 2．向量的线性表示及判断 3．向量组的线性相关性：定义,判断 4．向量组的秩,极大无关组 例1．已知向量,,且,则 ; 例2．已知向量与正交,则 ; 例3．已知向量,,线性相关,则 ; 例4．设向量组,⑴求向量组的秩;⑵求向量组的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示. 四、线性方程组 1．齐次线性方程组的解的判断和性质 2．非齐次线性方程组的解的判断和性质 3．齐次线性方程组的基础解系和通解 4．非齐次线性方程组的通解 例1．若齐次线性方程组有非零解,则 ; 例2．求线性方程组的基础解系和通解; 例3．求非齐次线性方程组的通解. 五、相似矩阵 1．矩阵的特征值和特征向量：定义,求解,性质 2．相似矩阵：定义,性质 3．矩阵的对角化：条件,方法 4．对称矩阵的对角化 例1．三阶方阵的特征值为,则 ; ; ; 例2．设方阵与相似,且,则 ; 例3．设,求的特征值与特征向量; 例4．求正交矩阵使与对角阵相似; 例5．三阶方阵的特征值对应的特征向量,,,求; 例6．已知是矩阵的一个特征向量,则 . 六、二次型 1．二次型：矩阵, 2．二次型正定性判断 例1．已知二次型,⑴写出二次型矩阵;⑵判别此二次型的正定性; - 3 -