§3.1.2用二分法求方程的近似解学案.doc

§3.1.2 用二分法求方程的近似解 撰稿人：刘福朕 学习目标 1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解； 2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P89~ P91，找出疑惑之处） 复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？ 对于函数，我们把使 的实数x叫做函数的零点. 方程有实数根函数的图象与x轴 函数 . 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点. 复习2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务： 二分法的思想及步骤 问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. 解法： 第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球； 第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？ 新知：对于在区间上连续不断且0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection). 反思： 给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢？ ①确定区间，验证，给定精度ε； ②求区间的中点； ③计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）； ④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④． ※ 典型例题 例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解. 变式：求方程的根大致所在区间. ※ 动手试试 练1. 求方程的解的个数及其大致所在区间. 练2.求函数的一个正数零点（精确到） 零点所在区间 中点函数值符号 区间长度 练3. 用二分法求的近似值. 三、总结提升 ※ 学习小结 ① 二分法的概念； ②二分法步骤； ③二分法思想. ※ 知识拓展 高次多项式方程公式解的探索史料 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若函数在区间上为减函数，则在上（ ）. A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点 2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）. 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 4. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 . 5. 函数的零点个数为 ，大致所在区间为 . 课后作业 1. 求方程的实数解个数及其大致所在区间. 2. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）.