四、空间图形专题(邹建兵).doc

空间图形专题 上海市市北中学 邹建兵 经典例题 【例1】如图,已知四棱锥的底面为菱形,平面,,、、．； （2）若为上的动点，与平面所成最大角的 正切值为，求异面直线与所成角？ 解：（1）平面 平面 ，又菱形中．，则．为中点， 又 ．， 平面．平面， ．、、． 菱形中 即所求异面直线与所成角（或补角） 平面 即为与平面所成角 在中：．时，取得最小值，取得最大值， 即与平面所成角最大． 即 设，由等面积法则 在中，求得．异面直线与所成角大小为．．【例2】在长方体中，，点在棱AB上运动．； （2）若为中点，求到平面距离； (理)(3)为何值时，二面角大小为？ （1）方法一：在长方体中 ，则．平面，平面， ．， 平面．平面，．为坐标原点建立空间直角坐标系,设， ,,, ，．，．到平面距离为．， ， 即． 方法二：记到平面距离为,设平面的法向量．，，，，则．，，则 ．， 则，， ，．的法向量．的法向量为， ， ， ， ，，．，则，， 由图可知 ，解得．．．．【例3】四面体中,分别为中点， AB=AD= （1）求证：； （2）求异面直线AB与CD所成角大小； （3）求E到平面ACD距离．且为中点 ， 且．中且为中点，． ， 又，．中点,连接 分别为中点 即为异面直线AB与CD所成角(或补角) ． 即异面直线AB与CD所成角大小为． 方法二：如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，，， ，，， 设异面直线AB与CD所成角为， ， ．AB与CD所成角大小为．到平面ACD距离距离为．中，．，．，．到平面距离为． 的法向量为,到平面距离为．，，．，，． 则，，．到平面距离为．．的高为,体积为,为弧的中点,为母线的中点．与所成角．,底面半径为,侧面母线长为,高为．，即， 侧面积 （2）法一:取中点,连接．分别为中点 ，且．即为异面直线与所成角(或补角) ．，平面，．中，， ．．异面直线与所成角大小为．为坐标原点如图建立空间直角坐标系．，，， ，，．与所成角为．．．与所成角大小为．点评：本题以旋转体（圆锥）为背景，考察异面直线所成角和旋转体的表面积及体积计算．绕旋转一周所得的几何体,其母线使得多面体体积最大，为中点．与所成角； （3）求与平面所成角． ，表面积为， ．时， ， ．交于，连接，所以为中点．为中点 即为异面直线与所成角， ，．．．异面直线与所成角大小为．与所成角为．，，， ，，．，．与所成角大小为．作且交于，连接．，为中点，．平面，平面，．，平面，平面． 又，．．即为与平面所成角．，， 与平面所成角大小为．的法向量为,与平面所成角为．，，，，，．,则，，．，即与平面所成角大小为．．任意两条棱的中点,其中与平面平行的直线有________条．），则该 几何体的体积为__________． 中,已知侧棱长为3，侧棱 上的一点P满足与平面所成角为 ，则棱柱体积为______．．被不平行于底面的平面所截,其中,则多面体体积为_______．,高为,若圆柱的侧面积不大于圆锥的侧面积,则的取值范围为_______． (文)母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角为,则圆锥体积为_____．与平行； （2）与为异面直线；（3）与夹角为； （4）．．R,若甲位于东经北纬, 乙位于东经北纬,则甲乙两地球面距离为_____________．的圆柱水杯装入适量水,若放入一个半径为的实心半球,水面上升高度为，则．的三边分别为,沿旋转一周所得几何体的表面积分别为,则表面积大小关系为______________．的两直角边长分别为3cm和4cm,则以斜边为轴旋转一周所得几何体 的表面积为______________．和三个不同平面,下列正确命题的序号为______．； ②； ③； ④．4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． ,三边长为a、b、c;类比可知,若四面体的内切球半径为,四个面的表面积为、、、,则其体积__________．(理)如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合． （1）当=1时，求证：⊥； （2）设二面角的大小为，求的最小值． (文)已知正三棱柱的底面边长为1,若点在侧棱上,且与侧面所成角为．满足,求的取值范围； （2）若,求异面直线与所成角．，求圆锥的体积． 在四棱锥中,平面,侧棱,底面为直角梯形,其中,为中点 （1）求证:平面； （2）求异面直线与所成角大小 （3）在