2011届高考数学一轮复习百大经典例题之棱柱(新课标).doc

典型例题一 例1 设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体； 命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如图所示，平行六面体中所有对角线相等，对角面是平行四边形，对角线，所以四边形是矩形，即，同理四边形是矩形，所以，由知底面，即该平行六面体是直平行六面体． 故选A． 说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题． 下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的．见表 表 平行四边形 平行六面体 ①对边平行且相等 ①相对的侧面平行且全等 ②对角线交于一点，且在这一点互相平分 ②对角线交于一点且在这一点互相平分 ③四条边的平方和等于两条对角线的平方和 ③十二条棱的平方和等于四条对角线的平方和 典型例题二 例2 如图，正四棱柱中，对角线，与侧面所成角为，求：（1）与底面所成角；（2）异面直线与所成角；（3）正四棱柱的全面积． 分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面、是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件．题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系．异面直线与所成角通过，落实为具体的．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式． 解：（1）在正四棱柱中，∵面， ∴是与侧面所成角，即． ∵ ，∴ ，， ∵ 是正方形，∴， 平面，∴ 是与底面所成角， 在△中，，， ∴，∴， 即与底面所成角为． （2）∵， ∴是与所成角（或补角）． ∵平面，∴ ， △中，，， ∴，∴， 即异面直线与所成角为． （3）△中，，． ∴ ， ∴ ． 说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件． 典型例题三 例3 如图，已知长方体中，棱长，，求直线与平面的距离． 分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有平面，这样，只要作，又有，得到平面． 解：长方体中，有平面，过作于，又有， ∴ 平，即是到平面的距离． 在△中，由已知可得，，， ∴ ，∴． 即是到平面的距离为． 说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体中，与面所成角．这里，要找与所成角，必须找到平面的垂线，因为面，在对角面内，过作于，则，所以面，可以得到为与面所成角，在对角面中可计算． 典型例题四 例4 如图，已知直三棱柱中，，为侧棱上一点，，．（1）若为的中点，为上不同于、的任一点，求证：；（2）若，求与平面所成角的大小． 分析：点在上变化，为平面内变化的一组相交直线（都过定点），要证明与垂直，必有平面．求与平面所成角的关键是找到面的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱平面给找点到面的垂线创造了方便的条件． 解：（1）∵，且是的中点，∴， 又∵ 直三棱柱中平面，∴， ∴ 平面，∴． 在矩形中，，， ∴，，， ∴，∴，即， ∴平面，∴． （2）过作于，∵平面，∴， ∴平面，连接，是与平面所成角． 在等腰△中，，，∴， 在等腰△中，由面积相等可得，， ∴，又， 在△中，， ∴， 即与平面所成角为． 说明：由于点在上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的突破口，使得线线垂直成为了与一组直线垂直．本题的证明还有一个可行的思路，虽然在上变化，但是由于平面，所以点在平面上的射影是定点，在平面上射影为定直线，使用三垂线定理，可由，直接证明．三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，正方体中，是底面的中心，是上动点，是中点，求与所成角．我们取中点，虽然点变化，但在面上射影为定直线，在正方形中，易证，所以，，即与所成角为． 典型例题五 例5 如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为，过的截面与底面成的二面角，分别就（1）；（2）计算截面的面积