函数、反函数、映射.ppt

函数、反函数、映射 基础知识要点 （一）映射 1、映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B 2、对于映射f：A→B，允许B中元素没有原象，但A中每一个元素必有唯一的象。对于A中的不同元素，在B中可以有相同的象。6 （二）函数 1、函数是一种特殊的映射f：A→B，其中A、B必须是非空数集，其象的集合是B的子集。 2、函数有三要素——定义域、对应法则和值域，其中对应法则是核心，定义域是函数的灵魂。三要素都相同的两个函数才是同一个函数。 3、函数的三种表示方法——列举法、解析法和图象法。 若函数在其定义域的不同子集上，对应法则分别不同或用几个不同式子来表示，这种形式的函数叫做分段函数。 4、如果y=f（u），u=g（x），那么y=f【g（x）】叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内层函数，f（u）为外层函数。 （三）反函数 1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。 2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。因此，反函数的定义域不能由其解析式来求，而应是原函数的值域。 3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤是： （1）从y=f（x）中反解出x；（2）x与y互换；（3）写出y=f—1（x）的定义域（即y=f（x）的值域）。 4、f－1(a)=b f(b)=a，要善于利用它解题。 5、掌握下列一些结论: （1）定义域上的单调函数必有反函数。 （2）奇函数的反函数也是奇函数。 （3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。 （4）周期函数不存在反函数。 （5）原函数与它的反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。 基本题型指要 【例1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A=R＋，B=R，f：x→x2－2x－1，求A中元素的象和B中元素－1的原象。 【例2】集合A=｛a，b，c｝，B=｛－1，0，1｝，从A到B的映射f满足条件f（a）=f（b）+f（c），那么这样的映射f的个数是（ ）（A）2 （B）7 （C）5 （D）4 【例3】求函数y=︳x︳x+2x的反函数。 【例5】函数 的图象与其反函数图象的交点坐标为 . 基础巩固 4、设f：A→B是从A到B的映射，其中A=B=｛（x，y）∣x，y∈R｝，f：（x，y）→（x+y，x-y），那么A中元素（1，3）的象是 ; B中元素（1，3）的原象是 . 5、已知函数y=f（x）在定义域（-∞，0）内存在反函数，且f（x-1）=x2-2x，f-1（- ）= 6、（1999年全国2）已知映射f：A→B，其中集合A=｛-3，-2，-1，1，2，3，4｝，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是,则B中元素的个数是（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 7、已知集合M=｛-1，1，2，4｝，B=｛0，1，2｝，给出下列四个对应法则：（1）y=x2 （2）y=x+1 （3）y=2x （4）y=log2︳x︳， 其中能构成从M到N的函数的是（ ）（A）（1） （B）（2） （C）（3） （D）（4） 8、（2003北京春季）若f（x）= 则方程f（4x）=x的根是（ ）（A）-2 （B）2 （C）- （D） 9、要使函数y=x2-2ax+1在[1，2]上存在反函数，则a的取值范围是（ ）（A）a≤1 （B） a≥2 （C）a≥2 或a≤1 （D）1≤a≤2 10、设函数f（x）= 函数g（x）的图象与y=f-1（x+1）的图象关于直线y=x对称，那么g（1）等于（ ）（A）- （B）-1 （C） - （D）0 * * ：当x=1＋时，x2－2x－1=0，所以1＋的象是0。当x2－2x－1=－1时，x=0或x=2 ∵0∴－1的原象是2。 解析 解析：由已知f（a）=0=1+（－1）=f（b）+f（c），f（a）=0=－1+1= f（b）+f（c），f（a）=0=0+0=f（b）+f（c），f（a）=1=1+0= f（b）+f（c），f（a）=1=0+1= f（b）+f（c），f（a）=－1=－1+0= f（b）+f（c）， f（a）=－1=0+（－1）= f（b）+f（c） 所以满足条件的映射共有7个，故选（B）。 ②当x0时,则y0,由 解析：原函数可化为 ①当x≥0时，则y≥0，由 【例4】若点