高等数学竞赛讲义_微分学部分.doc

第二届全国高等数学竞赛培训 第二讲 微分学 一、一元微分学 （1）导数（微分）的定义 特别地： 称函数在点处可微分，并称为函数在点处的微分，记为或。当时，称为的线性主部 1）是关于的高阶无穷小，即； 2）时，与是等价无穷小。 3）一阶微分形式的不变性：无论是自变量还是中间变量，都有总成立 4）可微可导连续有极限 ①含有抽象函数的型极限常用导数的定义求解： 例1：设曲线在（1，）处的切线方程为，求 解：根据几何意义可知在（1，）处的切线方程为 与相比较 例2：设函数与在（0，0）处相切，求 解：函数与在（0，0）处相切 注意：往往蕴含在条件中，常常是如是奇函数或在处连续等等 还有求极限并未说明可导不能用罗比塔法则用定义 ②与抽象函数导数相关的命题： 例3：对任意有且证明: 则 证明: 例4:(1)设定义在实数集上,对任意恒有求 (2), 都定义在实数集上,对任意的恒有下式成立: 且求 解(1)不妨设由不等式有 由夹逼性: 所以在可导且由的任意性, 在实数集上可得且 (2) (2)判断函数的可导性 利用导数存在充要条件及结论即存在 记住: 在处不可导,在处连续在处可导. 如不可导为 例5:设在可导,且函数在可导,求 并讨论的存在性. 解:时,(夹逼性) 故 由于在可导则在处连续,所以 而 所以所以 因为在可导所以 =-2又 在不可导 练习:设是连续的,且,令 求 解: 当时,有 所以 综上,有 练习: 在内有定义. (1)求在[-2,0]处表达式(答案: (2) 为何值时? 存在(答案:) 处处可导,试确定的值.(答案: . (3)求导法则 1.复合函数求导 2.参数方程求导(二阶) 3.隐函数求导(二阶)(幂指函数,多因子乘积,根式,乘方等) 练习:若方程由方程组求（答案：） 4.高阶导数 计算简单函数的高阶导数时,先设法把表示成一些常用函数如等的线性组合,再利用常用函数的阶导数求导.否则利用数学归纳法等分析规律进行计算. 当为非负整数且 例:设求 解: 所以 例:设,求 解: 令得由于所以 例:设求 解: 由假设 则 所以对都成立.当时, 所以 牛顿-莱布尼兹公式: 例: 求 解: 令 (3)利用中值定理构造辅助函数证明某些命题或不等式 ①中值定理回顾 1、罗尔中值定理：如果满足 （1）在上连续；（2）在内可导；（3）； 则在内至少存在一点，使。 2．拉格朗日中值定理： 如果满足（1）在上连续；（2）在内可导； 则在内至少存在一点，使或 3.柯西中值定理: 如果满足: （1）在上连续；（2）在内可导；(3)对任一点; 则在内至少存在一点，使 4.泰勒中值定理:如果在含有的某个开区间具有直到阶的导数,则对任一,有: ②例题选讲及总结: 例1:设在上可导,且有.证明:至少存在一点,使 分析: 证明:设: .显然在上连续,在内可导,由罗尔定理至少存在一点使 即. 罗尔定理的应用：常用罗尔定理验证。步骤如下： 找出及区间； 说明在连续，在可导； 验证 说明结论：“由罗尔定理……” 练习:已知在连续,在可导,且,求证: 在内至少存在一点使得 分析:令 例3: 已知在连续,在可导且.试证: (1)存在使 (2)对任意实数,必存在使得 分析(1)说明是函数在的零点,只要说明在满足零点定理条件即可. (2) 这里上式为 注意到将上式两边同乘以即 其中,因此只需证明在满足罗尔定理 常设辅助函数有：；；；； ；。 练习: 设在上一阶可导，在内二阶可导， 。（） 证明：（1）存在，使；（） （2）存在，使. (提示:先证有两个零点，再证有零点。 `拉格朗日中值定理的应用：常用于证明含函数值与导数值的恒等式或不等式。 证不等式步骤：1）找出及区间；2）说明在连续，在可导； 3）说明结论“由拉格朗日中值定理……” 注：夹在中间的函数为同一类型的函数时，其不等式的证明用拉格朗日中值定理，否则利用单调性更为简单。如：当； 当，。 证恒等式：1）试恒等式为，为的范围； 2）验证； 3）说明“由拉格朗日定理推论得”； 4）在内任取一定值代入中，求得常数。 如 证含有函数及导函数的等式。 例4： 设在区间上连续，在内可导，且。证明：在内至少存在一点，使得 分析：将变形为则只需将在上应用拉格朗日中值定理，将与在上应用柯西中值定理 练习:设在区间上连续，在内可导。证明：在内至少存在一点，使得