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高中函数知识梳理 一、函数的单调性 函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。 定义：（略） 定理1：那么 上是增函数； 上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若，那么 上是增函数； 上是减函数. 1.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法 2.复合函数的单调性的判定 对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。 3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且： (1)当和具有相同的增减性时， ①的增减性与相同， ②、、的增减性不能确定； (2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么： ①的增减性不能确定； ②、、为增函数，为减函数。 4.奇偶函数的单调性 奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 二、函数的对称性 函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。 1.函数的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数的图象关于直对称 特殊的有： ①函数的图象关于直线对称。 ②函数的图象关于轴对称（奇函数）。 ③函数是偶函数关于对称。 定理2：函数的图象关于点对称 特殊的有： 函数的图象关于点对称。 函数的图象关于原点对称（奇函数）。 函数是奇函数关于点 对称。 定理3：（性质） ①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。 ②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。 ③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。 2.两个函数图象的对称性: ①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. ②函数与函数的图象关于直线对称. 特殊地: 与函数的图象关于直线对称 ③函数的图象关于直线对称的解析式为 ④函数的图象关于点对称的解析式为 ⑤函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。 3．奇偶函数性质 对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且： （1）满足定义式子（偶）（奇） （2）在原点有定义的奇函数有 (3)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数、也为奇函数； ②、为偶函数； ③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数 (4)当和具有相异的奇偶性时，那么： ①、的奇偶性不能确定； ②、、为奇函数。 （6）任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 （7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数 （8）图形的对称性 关于轴对称的函数（偶函数）关于原点对称的函数（奇函数） （9）若是偶函数，则必有 若是奇函数，则必有 （10）若为偶函数，则必有 若是奇函数，则必有 （11）常见的奇偶函数 三、函数的周期性 函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。 1.周期性的定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是函数的周期。 2. 函数的周期性的主要结论： 结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期 结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期 结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴