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§5－１ 投影变换的目的和方法 投影变换的目的 将一般位置直线和平面改变为对投影面平行或垂直的特殊位置直线和平面，从而简化定位问题和度量问题。 §5－２ 辅助投影面法 辅助投影面的设置原则 1、辅助投影面必须垂直原投影体系中被保留的投影面（正确性validity原则） 2、辅助投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置（有效性effectivity原则） 1、变换正立投影面 2、变换水平投影面 3、变换两次投影面 3、变换两次投影面 直线的投影变换 1、把一般位置直线变换成投影面平行线 2、把投影面平行线变换成投影面垂直线 3、把一般位置直线变换成投影面垂直线 1、把一般位置直线变换成投影面平行线 3、把一般位置直线变换成投影面垂直线 平面的投影变换 1、把一般位置平面变换成投影面垂直面 2、把投影面垂直面变换成投影面平行面 3、把一般位置平面变换成投影面平行面 1、把一般位置平面变换成投影面垂直面 2、把投影面垂直面变换成投影面平行面 §5－3 投影变换综合作图问题 * 第五章 投 影 变 换 a′ a c′ d′ c(d) c′ d′ d c a′ a c′ d′ c d a′ 问题的引出：求点到直线的距离 距离 b′ (b) b′ b 距离 a k′ k PV 1′ 2′ 1 2 最后再求AK的实长 直线： 特殊 一般 解法： 简单 复杂 1、辅助投影面法（换面法） 2、旋转法 投影变换的方法 辅助投影面法的基本概念 空间几何元素保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，从而建立起新的投影面体系，使得空间几何元素对新投影面处于有利于解题的位置。 点的投影变换规律 V H V1 A a a′ ax a1′ O X O1 X1 1、变换正立投影面 ax1 旧投影面体系（H,V） 新投影面体系（H,V1） V V1 H a a′ a1′ ax ax1 X O O1 X1 1、点的辅助投影和保留投影的连线垂直于辅助投影轴，即a1′a⊥O1X1 2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离＝被替换的投影到原投影轴的距离， 即a1′ax1=a′ax 点的投影的变换规律 a′ a X O a1′ O1 X1 作图步骤： 1、在被保留的水平投影a附近作新轴O1X1 2、自a向新轴O1X1引垂线 3、在此垂线上，从新轴O1X1起截取长度＝a′到OX轴的距离，即得所求。 H V V1 点的投影变换的作法 V a′ ax H H1 A a a1 X X1 2、变换水平投影面 ax1 （H,V） （H1,V） O O1 O1 X1 H1 a′ a X O H V a1 V X H V1 X1 H1 X2 a1 a1? a? A a a1? a? a X V H X1 H V1 X2 H1 V1 a1 （H,V） （H1,V1） X H A B V V1 X1 O b1′ a1′ b a b′ a′ O1 α α O1 X1 O X a b a′ b′ a1′ b1′ α 在V1面上反映实长和倾角α V H V1 H 作新轴O1X1//ab 变换H面使AB为投影面平行线 O1 X1 a1 b1 O X a b a′ b′ V H H1 V β 在H1面上反映实长和倾角β 作新轴O1X1//a′b′ V H X a? A a b? B b H1 X1 a1(b1) a1 2、把投影面平行线变换成投影面垂直线 O O1 X V H a? a b? b O X1 H1 V O1 直线AB为正平线，应变换H面 作新轴O1X1⊥a′b′ （ b1 ） 思考：若直线为水平线，则应如何变换？ X H A B V V1 X1 H1 b′ a′ b a b1′ a1′ a1(b1) O1 O O2 X2 (H,V)→(H,V1)→(H1,V1) 将一般位置直线变换成投影面垂直线 O1 H1 V1 a? a X V H b? b a1(b1) X1 H V1 a1? b1? O X1 O1 X H A B V V1 X1 O b1′ c1′ b a b′ a′ O1 α O X a b a′ b′ a1′(d1′) b1′ α V H C c′ c D d d′ a1′ c′ c d′ d X1 V1 H O1 c1′ 作新轴O1X1⊥ad H X V C A c? b? a? B V1 c1? b1? a1? X1 a c (b) a1? c1? b1? c (b) a b? a? c? X O X1 O1 平面ABC为铅垂面，则变换V面 作新轴O1X1//ac 反映实形 a? c? X V H b? b a c d? d