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北京大学现代远程教育招生入学考试 复习参考资料 （经济类） 北京大学网络教育学院编印 目 录 高等数学（二）·································1 会计学原理···································50 英 语···································90 高等数学（二） 考试范围：极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、概率论初步 考试时间：90分钟 考试方式：闭卷、笔试 试卷满分 100分 题型与分数分布： 单项选择题（每题5分 共20分） 填空题（每题5分 共20分） 计算题（每题10分 共30分） 综合题（每题15分 共30分） 第一章 函数 函数是高等数学研究的对象。 基本初等函数包括 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 要求会画基本初等函数图形，结合图形熟记性质。 例1.1 初等函数：由基本初等函数经过有限次地四则运算、乘方、开方或复合得到的函数称为初等函数。 非初等函数：隐函数、分段函数。 第二章 极限与连续 （一）极限的概念 1、数列极限 定义在自然数集N上的函数f(n)称为数列。当时，如果 （常数），称数列f(n)收敛（或极限存在）。否则称数列f(n)发散（或极限不存在）。 例2.1 2、函数极限 在自变量x的某一变化过程 中，如果,称函数f(x)极限存在，记作， 否则称f(x)极限不存在。 例2.2 极限存在。 振荡无极限 极限不存在 3、定理设在有定义，则极限存在 。 例2.3 例2.4 不存在 (二) 变量极限性质 1.数列、函数统称为变量，记作y 2.变量极限性质 1）惟一性 如果变量极限存在，则极限值惟一 2）有界性 如果变量y以A为极限，则对任意给定的，总存在一个时刻，该时刻后，恒有。 3）单调有界数列必有极限。 4）夹逼准则 若在同一过程中，变量有关系，且。 （三）变量极限的四则运算法则 如果在自变量的同一变化过程中则： 当时， 注意 有限个变量处于自变量同一变化过程中，各变量极限都存在。 例2.5 例2.6 型有理分式极限 例2.7 型极限 （四）无穷小量和无穷大量 1、定义 以零为极限的变量和常数零统称为无穷小量 例2.8 当时，都是无穷小量 2、无穷小量性质 设在同一变化过程中，、都是无穷小量，则 （1）都是无穷小量。 （2）有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。 例2.9 3、定义 设在某一变化过程中，、，都是无穷小量，如果，称与是等价无穷小量。 例2.10 当时， （） 例 2.11 用等价无穷小量因子替换求极限 4、定义 在某一变化过程中，变量y如果对任意正数M，总在一个时刻，在该时刻后 恒成立，则称y是无穷大量。 例 2.12 当时，是无穷大量。 5、无穷小量与无穷大量的关系 （1）如果变量y在某一变化过程中是无穷小量，且，则是无穷大量。 （2）如果变量y在某一变化过程中是无穷大量，则是无穷小量。 6、无穷大量是无界变量，但无界变量未必是无穷小量。 例2.13 ，当是无界变量：0，4，0，8，，却不是无穷大量。 （五）两个重要极限 1、 2、 例2.14 例2.15 求型未定式极限 （六）连续 1、定义 设在点及其左、右邻域有定义，如果，称 在点连续。如果在区间内每一点都连续，称在区间 连续。 2、定理 在点连续 例2.16 在 x=0连续，则 3,如果在点连续，则极限 注意：当时，极限存在，在点未必连续。（见例2.3） （七）间断点 如果f(x)在点有下列三种情况之一，则是f(x)的间断点。 1、点没有定义； 2、不存在； 3、。 例2.17 在没有定义，是的间断点。 ，极限不存在，是间断点。 ，是间断点。 在其定义域内没有间断点。 （八）在闭区间上连续函数的性质 1、有界性 如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界。 2、最大值、最小值定理 如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有最大值、最小值。 3、介值定理 如果f(x)在[a,b]上连续M、m分别是f(x)在[a,b]上的最大值，最小值，则对介于m与M之间的任意数C，至少存在一