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第三节 泰勒（Taylor）公式 四. 几个初等函数的麦克劳林公式 三. 泰勒公式的应用 例2. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 * 用多项式近似表示函数的作用 理论分析 近似计算 一. 泰勒公式的建立 令 以直代曲 特点: 在微分应用中已知近似公式 : 不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 问题: 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 则 故 三、泰勒(Taylor)中值定理 余项估计 令 (称为余项) , ( 在 与 之间) 则有 ( 在 与 之间) ( 在 与 之间) ( 在 与 之间) ( 在 与 之间) 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 注意: 麦克劳林(Maclaurin)公式 则有 在泰勒公式中令 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 泰勒多项式逼近 用多项式逼近 类似可得 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 类似可得 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 包含在 的某区间上的上界. 解: 已知 的麦克劳林公式为 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 解 2. 利用泰勒公式求极限 3. 利用泰勒公式证明不等式 例4. 证明 证: *