§2.2函数的求导法则§2.3反函数和复合函数的求导法则.pptVIP

* §2.2 函数的求导法则 求导数的方法称为微分法. 用定义只能求出一些较简单的函数的导数(常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数), 对于比较复杂的函数则往往很困难. 本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则. 借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数, 从而使初等函数的求导问题系统化, 简单化。 一、函数四则运算的求导法则 定理1: 如果函数u(x), v(x)在点x处可导, 则它们的和, 差, 积, 商(分母不为零)在点x处也可导, 并且 证(3): (1), (2)证明略. 注①: 公式(1)和(2)可推广到任意有限个可导函数的情形: 注②: 作为公式(2)的特殊情况 即常数因子可以提到导数符号的外面. 再由公式(1)得: 即线性组合的导数等于导数的线性组合——说明求导是一线性运算. 注③: 作为公式(3)的一种特殊情况 例1: 解: 例2: 解: 例3: 解: 同理可得: 即 例4: 解: 同理可得: 即 例5: 解: 所以 1、反函数的求导法则 定理2: 如果函数x=f (y)在区间 Iy 内单调可导, 且 f ’(y)?0, 那么它的反函数y=f -1(x)在区间 Ix={x|x=f (y), y?Iy }内也可导, 且 即: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 证: 由于函数x=f (y)在区间 Iy 内单调可导(因而连续), 则它的反函数y=f -1(x)存在, 且f -1(x)在区间 Ix内也单调且连续. 任取 x?Ix, 给x以增量?x(?x?0, x+?x?Ix).由y=f -1(x)的单调性可得: ?y = f -1(x+?x) – f -1(x) ?0 于是有 §2.3 反函数和复合函数的求导法则 因y=f -1(x)连续, 故 从而 例1: 解: 同理可得 即 例2: 解: 特别地 即 2、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经有限次四则运算的结果——的导数, 但是像 等函数(复合函数)是否可导, 可导的话, 如何求它们的导数. 先看一个例子. 例3: 设 解: 这里我们是先展开, 再求导. 若像 y = (1–x2)1000 求导数, 展开就不是办法. 所以 根本无法展开, 又该怎样求导数? , 再像 由以上两例可见, 由 y=f(u), u=?(x)复合而成的函数y=f[?(x)]的导数 y?x, 恰好等于y对中间变量u的导数 y?u与中间变量u对自变量x的导数 u?x的乘积, 再如 注意到: 仔细分析一下, 这三个函数同样都为复合函数, 我们从复合函数结构的角度来分析一下上例的结果. ——这就是复合函数求导数的链式法则. 定理3: 如果函数u=?(x)在点x处可导, 而 y=f(u)在点u=?(x)处可导, 则复合函数 y=f[?(x)]在点x处可导, 且其导数为 或 即: 复合函数因变量对自变量求导, 等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导(链式法则). 即 证: 由于y=f(u)在点u处可导, 所以 所以 由于u=?(x)在点x处可导, 则必在此点处连续, 所以当?x?0时,必有?u?0, 故 所以 注1. 链式法则——“由外向里, 逐层求导”; 注2. 注意适当选择中间变量. 推广: 设y=f (u), u=?(v), v=?(x), 满足定理3的条件,则复合函数 y=f {?[?(x)]}的导数为: 例4: 求函数 y = ln sin x 的导数. 解: 设 y = ln u, u = sin x, 所以 例5: 求函数 y = (x2+1)10 的导数. 解: 例6: 解: 例7: 解: 例8: 求函数 y = sh x 的导数. 解: 即 同理可得 解: 的导数. 例9: 求幂函数y = x? 的导数. 即 解: 例10: 求函数 解: y = sn, s = f(t), t = un, u = ?(v), v = sin w, w = xn. 注1. 在复合函数求导中, 符号??(sin xn)与[?(sin xn)]? 有严格的差异, 前者是对中间变量 v = sin xn求导, 而后者是对最终自变量x求导. 必须引起足够的重视. 注2. 基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础, 必须熟练掌握. 注3. 复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱, 要深刻理解, 熟练应用——注意不要漏层. 例