03第三节可降阶的二阶微分方程.doc

第三节 可降阶的二阶微分方程 对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解. 分布图示 ★ 型 ★ 例1 ★ 例2 ★ 型 ★ 例3 ★ 例4 ★ 型 ★ 例5 ★ 例6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6—3 内容要点 一、 型 在方程两端积分，得 再次积分，得 注：这种类型的方程的解法，可推广到阶微分方程 ， 只要连续积分n次, 就可得这个方程的含有n个任意常数的通解. 二、型 这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是： 令 则，原方程化为以为未知函数的一阶微分方程， 设其通解为 然后再根据关系式 又得到一个一阶微分方程 对它进行积分，即可得到原方程的通解 三、型 这种方程的特点是不显含自变量x. 解决的方法是：把暂时看作自变量，并作变换 于是，由复合函数的求导法则有 这样就将原方程就化为 这是一个关于变量y、p的一阶微分方程. 设它的通解为 这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解 例题选讲 型 例1（E01）求方程满足的特解. 解 对所给方程接连积分二次,得 (1) (2) 在(1)中代入条件得在(2)中代入条件得 从而所求题设方程的特解为 例2 求方程的通解. 解 设代入题设方程,得 解线性方程,得为任意常数)，即 两端积分,得 再积分得到所求题设方程的通解为 其中为任意常数. 进一步通解可改写为其中为任意常数. 例3（E02）求方程的通解. 解 这是一个不显含有未知函数的方程.令则于是题设方程降阶为即两边积分,得 即或 再积分得原方程的通解 例4 求微分方程初值问题. 的特解. 解 题设方程属型.设代入方程并分离变量后,有 两端积分，得即 由条件得所以 两端再积分,得又由条件得 于是所求的特解为 型 例5（E03）求方程的通解. 解 设则代入原方程得即 由可得所以 原方程通解为 例6 求微分方程满足初始条件 的特解. 解 令由代入方程并化简得 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得 再分离变量,得由初始条件 定出从而得再两边积分,得或 由定出从而所求特解为 课堂练习 1. 求方程的通解. 2.求微分方程满足初始条件的特解.