2012年浙江省高中数学竞赛预测试题.doc

2012年浙江省高中数学竞赛预测试题 参考解答与评分标准 说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 选择题 （本大题满分50分，每小题5分） 1．已知集合，则下列正确的是（ ） A． B. C. D. 解：因为，所以有正确答案为 A。 2．当时，，则下列大小关系正确的是（ ） A． B. C. D. 解：当时，，，。 又因为。所以 。 选 C。 3．设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（ ） A．； B. ； C. ； D. 解：函数的定义域为 。当时，应有，即；当时，应有，即。 因此，选 B。 4．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则△ABC一定为( ) A．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形 解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。 5．已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是（ ） A． B. 2 C. D. 4 解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则 。因此 选 A。 6．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),, ，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以 ，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。 因此 选 B。 7.若在复平面上三个点构成以Ａ为直角顶点的等腰直角三角形，其中，则△ＡＢＣ的面积为（ ） A. B. C. 1 D . 解：依题意，，。 △ＡＢＣ的面积为。应选Ａ。 8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ ） A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有 由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。 9. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ ） A. B C. D. 解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。 10. 设有算法如下： 如果输入A=144, B=39,则输出的结果是（ B ） A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。 填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，满分49分） 11. 满足方程所有实数解为。 解答 变形得，解得 。 12. 函数的最小正周期为. 解答 。 设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为. 14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为__。 解答：因为平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以 AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为。 15．设为实数，则_____4________。 解答： 16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。（用组合数符号表示） 17. 设，。当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0或q. 解答 因为函数为偶函数，由对称性以及图象知道，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。 三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 18. 设数列， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少； （2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少. 解（1）将数列分组： 因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016， 所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为。 --------- 10分 （2）由以上分组可以知道，每个奇数组